63 lines
2.3 KiB
Markdown
63 lines
2.3 KiB
Markdown
Odbočka.
|
||
|
||
Pohyb po křivce se dá zapsat jako:
|
||
$$
|
||
r(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\ z(t)\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
Pohyb křivce můžeme ale také popsat pomocí tří navzájem kolmých.
|
||
1) tečný vektor -> ukazuje ve směru pohybu
|
||
2) normálový vektor -> ukazuje do středu pomyslné rovnice
|
||
3) binominální vektor -> je kolmý na plochu otáčení.
|
||
**Všechny jsou jednotkové.**
|
||
|
||
Na to, abychom to pochopili, musíme nejprve nějak vstřebat fakt, že si můžeme na křivce v každém bodě představit, že se vlastně pohybujeme po kružnici (směrově). Tahle kružnice má jakýsi poloměr $R$. Místo přímo poloměru používáme tzv. **zakřivení** $\kappa = \frac{1}{R}$.
|
||
|
||
Tečný vektor:
|
||
$$
|
||
\vec{T}(t) = \frac{\vec{\dot{r}}(t)}{||\vec{\dot{r}}(t)||}
|
||
$$
|
||
Normálový vektor:
|
||
$$
|
||
\vec{N}(t) = \frac{\vec{\dot{T}}(t)}{||\vec{\dot{T}}(t)||}
|
||
$$
|
||
Binominální vektor:
|
||
$$
|
||
\vec{B}(t) = \vec{T}(t) \vec{\times}N(t)
|
||
$$
|
||
|
||
Pro popis pohybu po křivce existuje sada Frenet–Serret vztahů:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa \vec{N}
|
||
$$
|
||
Doslova rozdíl vektorů dT - tedy když se nepatrně posunu a koukám se, kam ukazuje tečný směr křivky - lépe řečeno [^1]rozdíl špiček vektorů - tak je ve směru normálového vektoru (co ukazuje na střed) v posunutém bodě a velikost tohoto rozdílu je **zakřivení**.
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa \vec{T} + \tau \vec{B}
|
||
$$
|
||
|
||
Rozdíl normálového vektoru je roven složce je roven složce $-\kappa T$, která popisuje o pohybu na ploše. Změna mezi normálovými vektoru (od starému k novému) je rovná opačnému směru tečného vektoru v druhém bodě (v tom kam se pohnu) násobeném zakřivením.
|
||
Zde ale také počítáme s možností pohybu mimo plochu (ve 3D). Takže tam je i složka $\tau B$ s tzv. **torzí**, která popisuje právě pohyb, kdy se vektor kolmý na plochu mění.
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{d\vec{B}}{ds} = -\tau \vec{N}
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
**Zakřivení a Torze**:
|
||
|
||
|
||
$$
|
||
\kappa = \frac{\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)}{||\dot{r}(t)||^3}
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\tau = \frac{(\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t))\cdot \dddot{r}(t)}{||\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)||^2}
|
||
$$
|
||
kde:
|
||
$$
|
||
\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)
|
||
$$
|
||
je normála na oskulační rovinu - co to je? Nepředstavitelný koncept roviny, která nejlépe doléha na nějakou jinou rovinu - nevím :')
|
||
[^1]: za tenhle termín mi pls neutrhněte hlavu
|