FY1/Frenetův rámec.md

Odbočka.

Pohyb po křivce se dá zapsat jako:

r(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\ z(t)\end{pmatrix}

Pohyb křivce můžeme ale také popsat pomocí tří navzájem kolmých.

1. tečný vektor -> ukazuje ve směru pohybu
2. normálový vektor -> ukazuje do středu pomyslné rovnice
3. binominální vektor -> je kolmý na plochu otáčení. Všechny jsou jednotkové.

Na to, abychom to pochopili, musíme nejprve nějak vstřebat fakt, že si můžeme na křivce v každém bodě představit, že se vlastně pohybujeme po kružnici (směrově). Tahle kružnice má jakýsi poloměr R. Místo přímo poloměru používáme tzv. zakřivení \kappa = \frac{1}{R}.

Tečný vektor:

\vec{T}(t) = \frac{\vec{\dot{r}}(t)}{||\vec{\dot{r}}(t)||}

Normálový vektor:

\vec{N}(t) = \frac{\vec{\dot{T}}(t)}{||\vec{\dot{T}}(t)||}

Binominální vektor:

\vec{B}(t) = \vec{T}(t) \vec{\times}N(t)

Pro popis pohybu po křivce existuje sada Frenet–Serret vztahů:

\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa \vec{N}

Doslova rozdíl vektorů dT - tedy když se nepatrně posunu a koukám se, kam ukazuje tečný směr křivky - lépe řečeno ¹ rozdíl špiček vektorů - tak je ve směru normálového vektoru (co ukazuje na střed) v posunutém bodě a velikost tohoto rozdílu je zakřivení.

\frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa \vec{T} + \tau \vec{B}

Rozdíl normálového vektoru je roven složce je roven složce -\kappa T, která popisuje o pohybu na ploše. Změna mezi normálovými vektoru (od starému k novému) je rovná opačnému směru tečného vektoru v druhém bodě (v tom kam se pohnu) násobeném zakřivením. Zde ale také počítáme s možností pohybu mimo plochu (ve 3D). Takže tam je i složka \tau B s tzv. torzí, která popisuje právě pohyb, kdy se vektor kolmý na plochu mění.

\frac{d\vec{B}}{ds} = -\tau \vec{N}

Zakřivení a Torze:

\kappa = \frac{\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)}{||\dot{r}(t)||^3}

\tau = \frac{(\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t))\cdot \dddot{r}(t)}{||\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)||^2}

kde:

\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)

je normála na oskulační rovinu - co to je? Nepředstavitelný koncept roviny, která nejlépe doléha na nějakou jinou rovinu - nevím :')

---

1. za tenhle termín mi pls neutrhněte hlavu ↩︎