Odbočka. 

Pohyb po křivce se dá zapsat jako:
$$
r(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\ z(t)\end{pmatrix}
$$

Pohyb křivce můžeme ale také popsat pomocí tří navzájem kolmých.
1) tečný vektor -> ukazuje ve směru pohybu
2) normálový vektor -> ukazuje do středu pomyslné rovnice
3) binominální vektor -> je kolmý na plochu otáčení.
**Všechny jsou jednotkové.**

Na to, abychom to pochopili, musíme nejprve nějak vstřebat fakt, že si můžeme na křivce v každém bodě představit, že se vlastně pohybujeme po kružnici (směrově). Tahle kružnice má jakýsi poloměr $R$. Místo přímo poloměru používáme tzv. **zakřivení** $\kappa = \frac{1}{R}$.

Tečný vektor:
$$
\vec{T}(t) = \frac{\vec{\dot{r}}(t)}{||\vec{\dot{r}}(t)||}
$$
Normálový vektor:
$$
\vec{N}(t) = \frac{\vec{\dot{T}}(t)}{||\vec{\dot{T}}(t)||}
$$
Binominální vektor:
$$
\vec{B}(t) = \vec{T}(t) \vec{\times}N(t)
$$

Pro popis pohybu po křivce existuje sada Frenet–Serret vztahů:

$$
\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa \vec{N}
$$
Doslova rozdíl vektorů dT - tedy když se nepatrně posunu a koukám se, kam ukazuje tečný směr křivky - lépe řečeno [^1]rozdíl špiček vektorů - tak je ve směru normálového vektoru (co ukazuje na střed) v posunutém bodě a velikost tohoto rozdílu je **zakřivení**.

$$
\frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa \vec{T} + \tau \vec{B}
$$

Rozdíl normálového vektoru je roven složce je roven složce $-\kappa T$, která popisuje o pohybu na ploše. Změna mezi normálovými vektoru (od starému k novému) je rovná opačnému směru tečného vektoru v druhém bodě (v tom kam se pohnu) násobeném zakřivením.
Zde ale také počítáme s možností pohybu mimo plochu (ve 3D). Takže tam je i složka $\tau B$ s tzv. **torzí**, která popisuje právě pohyb, kdy se vektor kolmý na plochu mění.

$$
\frac{d\vec{B}}{ds} = -\tau \vec{N}
$$


**Zakřivení a Torze**:


$$
\kappa = \frac{\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)}{||\dot{r}(t)||^3}
$$
$$
\tau = \frac{(\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t))\cdot \dddot{r}(t)}{||\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)||^2}
$$
kde:
$$
\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)
$$
je normála na oskulační rovinu - co to je? Nepředstavitelný koncept roviny, která nejlépe doléha na nějakou jinou rovinu - nevím :')
[^1]: za tenhle termín mi pls neutrhněte hlavu