63 lines
3.2 KiB
Markdown
63 lines
3.2 KiB
Markdown
- způsob jak hledat derivaci v bodě funkce o více proměnných.
|
|
- pozn: tohle by se hodilo rozšířit o vizualizaci tbh
|
|
|
|
Myšlenka je zderivovat předpis funkce dle každé proměnné. To znamená, že funkci o více proměnných zderivujeme vždy podle směru nějaké osy (takže funkce o jedné proměnné, která leží na té ose má přesně tuto jednu derivaci).
|
|
|
|
- při parciální derivaci vždy derivuje podle jedné proměnné a ostatní beru jako konstanty
|
|
|
|
Např:
|
|
$f(x,y) = x\sin(xy)$
|
|
- parciální derivace na ose x
|
|
$$
|
|
\frac{\delta f}{\delta x} = (x\sin(xy))' = x'\sin(xy) + x\sin'(xy) = \sin(xy) + x\cos(xy)[xy]' = \sin(xy) + xy\cos(xy)
|
|
$$
|
|
- parciální derivace podle y
|
|
$$
|
|
\frac{\delta f}{\delta y} = (x\sin(xy))' = x \sin'(xy) = x\cos(xy)[xy]'= x^2\cos(xy)
|
|
$$
|
|
|
|
Takže parciální derivace funkce jsou
|
|
$f'_{x} = \sin(xy) + xy\cos(xy)$ a $f'_{y} = x^2\cos(xy)$
|
|
|
|
Derivace v bodě f(2, 1) je ve směru x: $\sin(2\cdot1) + 2\cdot 1 \cdot \cos(2\cdot 1) = \sin(2) + 2\cos(2)$ a ve směru y: $2^2\cos(2\cdot 1) = 4\cos(2)$.
|
|
|
|
**Důležité je si uvědomit, že derivace v bodě nemá jednu konkrétní hodnotu.** U funkce jedné proměnné bylo jednoduché nakreslit tečnu a zjisti její směrnici, ale zde se na bod můžeme koukat z nekončena různých směrů. Na kraji vlny jeden směr může rychle stoupat, ale z boku lze jít stále rovně bez stoupání.
|
|
Místo tečny můžeme udělat tečnou rovinu a vybrat si kterýkoli možný směr, kudy se na ní pohybovat.
|
|
# Směrová parciální derivace
|
|
Z definice:
|
|
$$
|
|
\frac{\delta f}{\delta h}(a) =\lim_{ t \to 0 } \frac{f(a + th) - f(h)}{t}
|
|
$$ kde $h$ je směrový vektor derivace, $a$ je bod a $t$ je parametr. V podstatě si to jde představit tak, že se pohybuji o malinký kousíček ve směru hledané derivace a čím víc zmenšuji tento kousíček, tím víc se blížím k derivaci v bodě a ve směru.
|
|
Dá se to přepsat i takto: pro $\varphi(t) = f(a + th)$:
|
|
$$
|
|
\frac{\delta \varphi}{\delta h} = \lim_{ t \to \infty } \frac{\varphi(t) - \varphi(0)}{t}
|
|
$$
|
|
|
|
Příklad v praxi: (isibalo)
|
|
Nalezněte derivaci $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3xy$ v bodě a[1,2] a směru $\vec{h} = (-2,1)$.
|
|
$$
|
|
\varphi(t) = f(a_{1} + th_{1}, a_{2 + th_{2}}) = f(1 + t(-2), 2 + t(1)) = f(1 -2t, 2 + t)
|
|
$$
|
|
$$
|
|
= (1-2t)^2 + 2(2+t)^2 - 3(1-2t)(2+t) = 1 - 4t + 4t^2 + 8 + 8t + 2t^2 - 3(2 + t -4t - 2t^2)
|
|
$$
|
|
$$
|
|
= (4 + 2 + 6)t^2 + (8 - 4 + 9)t + (1 + 8 - 6) = 12t^2 + 13t + 3
|
|
$$
|
|
$$
|
|
\varphi'(t) = f'(a + th) = (12t^2 + 13t + 3)' = 24t + 13
|
|
$$
|
|
$$
|
|
f_{h}(a) = \varphi'(0) = 24(0) + 13 = 13
|
|
$$
|
|
Derivace v bodě a ve směru h je 13.
|
|
Šlo by to udělat i obecně. Místo hodnot tam dát parametry a pak dosazovat.
|
|
|
|
# Parciální derivace vyšších řádů
|
|
... dodělat...
|
|
|
|
Derivovanou funkci můžu derivovat víckrát dle os nebo směru. Když derivuji osy tak pro první derivaci mám 2 parciální derivace, po druhé mám 4 parciální derivace a po třetí 8, etc.
|
|
$$
|
|
f'(x,y) \to f_{x}, f_{y} \to f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy} \to f_{xxx},f_{xxy},f_{xyx},f_{xyy},f_{yxx},f_{yxy},f_{yyx},f_{yyy} \to\dots
|
|
$$
|
|
V případě spojité původní funkce (a spojitých derivací) ale platí, že funkce se stejným počtem derivovaných os mají stejné derivace, tedy $f_{yyx} = f_{xyy} = f_{yxy}$. |