MA2A/Parciální derivace.md

• způsob jak hledat derivaci v bodě funkce o více proměnných.
• pozn: tohle by se hodilo rozšířit o vizualizaci tbh

Myšlenka je zderivovat předpis funkce dle každé proměnné. To znamená, že funkci o více proměnných zderivujeme vždy podle směru nějaké osy (takže funkce o jedné proměnné, která leží na té ose má přesně tuto jednu derivaci).

• při parciální derivaci vždy derivuje podle jedné proměnné a ostatní beru jako konstanty

Např: f(x,y) = x\sin(xy)

• parciální derivace na ose x

\frac{\delta f}{\delta x} = (x\sin(xy))' = x'\sin(xy) + x\sin'(xy) = \sin(xy) + x\cos(xy)[xy]' = \sin(xy) + xy\cos(xy)

• parciální derivace podle y

\frac{\delta f}{\delta y} = (x\sin(xy))' = x \sin'(xy) = x\cos(xy)[xy]'= x^2\cos(xy)

Takže parciální derivace funkce jsou f'_{x} = \sin(xy) + xy\cos(xy) a f'_{y} = x^2\cos(xy)

Derivace v bodě f(2, 1) je ve směru x: \sin(2\cdot1) + 2\cdot 1 \cdot \cos(2\cdot 1) = \sin(2) + 2\cos(2) a ve směru y: 2^2\cos(2\cdot 1) = 4\cos(2).

Důležité je si uvědomit, že derivace v bodě nemá jednu konkrétní hodnotu. U funkce jedné proměnné bylo jednoduché nakreslit tečnu a zjisti její směrnici, ale zde se na bod můžeme koukat z nekončena různých směrů. Na kraji vlny jeden směr může rychle stoupat, ale z boku lze jít stále rovně bez stoupání. Místo tečny můžeme udělat tečnou rovinu a vybrat si kterýkoli možný směr, kudy se na ní pohybovat.

Směrová parciální derivace

Z definice:

\frac{\delta f}{\delta h}(a) =\lim_{ t \to 0 } \frac{f(a + th) - f(h)}{t} 
$$ kde $h$ je směrový vektor derivace, $a$ je bod a $t$ je parametr. V podstatě si to jde představit tak, že se pohybuji o malinký kousíček ve směru hledané derivace a čím víc zmenšuji tento kousíček, tím víc se blížím k derivaci v bodě a ve směru.
Dá se to přepsat i takto: pro $\varphi(t) = f(a + th)$:

\frac{\delta \varphi}{\delta h} = \lim_{ t \to \infty } \frac{\varphi(t) - \varphi(0)}{t}

Příklad v praxi: (isibalo)
Nalezněte derivaci $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3xy$ v bodě a[1,2] a směru $\vec{h} = (-2,1)$.

\varphi(t) = f(a_{1} + th_{1}, a_{2 + th_{2}}) = f(1 + t(-2), 2 + t(1)) = f(1 -2t, 2 + t)

= (1-2t)^2 + 2(2+t)^2 - 3(1-2t)(2+t) = 1 - 4t + 4t^2 + 8 + 8t + 2t^2 - 3(2 + t -4t - 2t^2)

= (4 + 2 + 6)t^2 + (8 - 4 + 9)t + (1 + 8 - 6) = 12t^2 + 13t + 3

\varphi'(t) = f'(a + th) = (12t^2 + 13t + 3)' = 24t + 13

f_{h}(a) = \varphi'(0) = 24(0) + 13 = 13

Derivace v bodě a ve směru h je 13.
Šlo by to udělat i obecně. Místo hodnot tam dát parametry a pak dosazovat.

# Parciální derivace vyšších řádů
... dodělat...

Derivovanou funkci můžu derivovat víckrát dle os nebo směru. Když derivuji osy tak pro první derivaci mám 2 parciální derivace, po druhé mám 4 parciální derivace a po třetí 8, etc. 

f'(x,y) \to f_{x}, f_{y} \to f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy} \to f_{xxx},f_{xxy},f_{xyx},f_{xyy},f_{yxx},f_{yxy},f_{yyx},f_{yyy} \to\dots

V případě spojité původní funkce (a spojitých derivací) ale platí, že funkce se stejným počtem derivovaných os mají stejné derivace, tedy $f_{yyx} = f_{xyy} = f_{yxy}$.