64 lines
3.7 KiB
Markdown
64 lines
3.7 KiB
Markdown
# 1. hodina
|
|
Rovnice o více proměnných
|
|
|
|
- Funkce více proměnných
|
|
|
|
**Děfinice (okolí)** : okolí více proměnných: Mějme $x \in R^n$ Množina $U(x) = \{y \in R^n | ||x-y|| < d\}$ se nazývá okolí bodu x.
|
|
|
|
**Termíny**: hranice, hraniční body, vnitřní body, hromadné body, isolované body
|
|
|
|
TOTO NEJSOU DEFINICE
|
|
|
|
**Hranice**: -> všechny hromadné body, co nejsou vnitřní? (**nemusí být součást M**) - znač, takovým divnám obráceným d.
|
|
**Vnitřní body**: Všechny body, pro které existuje takové okolí, že v něm nejsou žádné body, které se neancházejí v množně M.
|
|
**Hromadný bod**: je takový že v jakémkoli jeho okolí je nekonečné mnoho bodů z množiny M. (může být i hraničná bod, který **není** v množině M).
|
|
**Isolovaný bod**: Je takový bod množiny M, že existuje jeho okolí takové, že v něm nejsou žádné body z množiny M.
|
|
|
|
Př: M = (0,1) x (-1,1)
|
|
+ takovej ten divnej zápis: ({0} x <-1,1>) U ({1} x <-1,1>) U (<0,1> x {-1}) U (<0,1> x {1})
|
|
|
|
Něco?
|
|
isolovaný hromadný bod? -> neexistuje ne?
|
|
|
|
# 2. hodina
|
|
|
|
**Definice**: Množina $M \subset R^n$ se nazývá **otevřená**, pokud každý její bod je vnitřní. (nemá hraniční body -> to ale neznamená, že je nekonečná)
|
|
|
|
Průnik M a hranice je prázdná množina.
|
|
|
|
**Definice**: Množina $M \subset R^n$ se nazývá **uzavřená**, když $\partial M \subset M$ (hranice M je v množině M).
|
|
|
|
Platí, že hranice M je stejná jako hranice jejího doplňku?
|
|
Doplněk uzavřené M je otevřený a naopak?
|
|
|
|
**Doplněk**: Je všechno to, co není množina -> tedy předchozí věty dávají smysl.
|
|
|
|
**Věta 1**: Mějme interval $<a_{n}, b_{n}>$, kde $n \in N$ a $<a_{n+1}, b_{n+1}> \subset <a_{n}, b_{n}>$. Pak průnik všech množin, kde se $n$ se blíží k nekonečnu není prázdný.
|
|
|
|
Pak také $a \leq inf \space B = b$? -> spíš teda pro $a$ je **suprenum** rostoucí omezené posloupnosti $a_{n}$ a $b$ je **infinumum** klesající omezené posloupnosti $b_{n}$ platí, že jejich rostou/klesají do bodu, kde se rovnají a to je právě to supremum/infinum a, b. Jde říct $a \leq b$.
|
|
|
|
**Věta 2:** Každá nekonečná množina má hromadný bod. Je-li M uzavřená, hromadný bod patří do M.
|
|
|
|
**Definice**: M se nazývá omezená, pokud existuje k > 0 tak, že $M \subset \space <-k, k>^n$.
|
|
|
|
**Definice (NETŘEBA K TESTU)**: Řekneme, že $f$ má v bodě limitu L, pokud pro každé $\epsilon > 0$ existuje okolí $U(x_{0})$ tak, že platí pro $y \in U(x_{0} \ \{x_{0}\})$ je $|f(y) - L|<\epsilon$.
|
|
|
|
**Pozn**: U funkcí více proměnných nemůžeme použít vychytávek limit funkcí jedné proměnné. Můžem ale využít například triku zápisu bodu pomocí polární souřadnice (zápis s $\rho$ a cosinem úhlu - kde $\rho$ je délka k bodu z počátku a cosinus úhel přímky)
|
|
|
|
Existence limity je hodně silné tvrzení. Ve většině případů tomu tak nebude.
|
|
|
|
**Definice (spojitost)**: Řekneme, že funkce $f: M \to R, M \subset R^n$ je spojití v bodě $x_{n} \in M$, když je bod $x_{0}$ **isolovaný**, nebo pokud $f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0}, x\in M }f(x)$ (**má v bodě limitu**)
|
|
|
|
# Cvičení
|
|
|
|
- příklady z analytické geometrie
|
|
- pozn: koeficienty roviny ve 3D jsou hodnoty normálového vektoru
|
|
- dále pak rovnice kružnice, elipsy, hyperboly a paraboly
|
|
- rovnost $x^2 + y^2 + z^2 = x$ mluví o obalu koule. Nerovnosit mluví o obsahu nebo o všem kolem koule.
|
|
- množina lze zapsat pomocí více rovnic a vznikne pak třeba trojúhelník
|
|
|
|
Pozn:
|
|
- rovnice kružnice: $x^2 + y^2 = r^2$
|
|
- rovnice elipsy: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
|
|
- rovnice paraboly: $y = ax^2$, $x = ay^2$
|
|
- rovnice hyperboly: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ nebo $$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$ |