MA2A/1. týden.md

1. hodina

Rovnice o více proměnných

• Funkce více proměnných

Děfinice (okolí) : okolí více proměnných: Mějme x \in R^n Množina U(x) = \{y \in R^n | ||x-y|| < d\} se nazývá okolí bodu x.

Termíny: hranice, hraniční body, vnitřní body, hromadné body, isolované body

TOTO NEJSOU DEFINICE

Hranice: -> všechny hromadné body, co nejsou vnitřní? (nemusí být součást M) - znač, takovým divnám obráceným d. Vnitřní body: Všechny body, pro které existuje takové okolí, že v něm nejsou žádné body, které se neancházejí v množně M. Hromadný bod: je takový že v jakémkoli jeho okolí je nekonečné mnoho bodů z množiny M. (může být i hraničná bod, který není v množině M). Isolovaný bod: Je takový bod množiny M, že existuje jeho okolí takové, že v něm nejsou žádné body z množiny M.

Př: M = (0,1) x (-1,1)

• takovej ten divnej zápis: ({0} x <-1,1>) U ({1} x <-1,1>) U (<0,1> x {-1}) U (<0,1> x {1})

Něco? isolovaný hromadný bod? -> neexistuje ne?

2. hodina

Definice: Množina M \subset R^n se nazývá otevřená, pokud každý její bod je vnitřní. (nemá hraniční body -> to ale neznamená, že je nekonečná)

Průnik M a hranice je prázdná množina.

Definice: Množina M \subset R^n se nazývá uzavřená, když \partial M \subset M (hranice M je v množině M).

Platí, že hranice M je stejná jako hranice jejího doplňku? Doplněk uzavřené M je otevřený a naopak?

Doplněk: Je všechno to, co není množina -> tedy předchozí věty dávají smysl.

Věta 1: Mějme interval <a_{n}, b_{n}>, kde n \in N a <a_{n+1}, b_{n+1}> \subset <a_{n}, b_{n}>. Pak průnik všech množin, kde se n se blíží k nekonečnu není prázdný.

Pak také a \leq inf \space B = b? -> spíš teda pro a je suprenum rostoucí omezené posloupnosti a_{n} a b je infinumum klesající omezené posloupnosti b_{n} platí, že jejich rostou/klesají do bodu, kde se rovnají a to je právě to supremum/infinum a, b. Jde říct a \leq b.

Věta 2: Každá nekonečná množina má hromadný bod. Je-li M uzavřená, hromadný bod patří do M.

Definice: M se nazývá omezená, pokud existuje k > 0 tak, že M \subset \space <-k, k>^n.

Definice (NETŘEBA K TESTU): Řekneme, že f má v bodě limitu L, pokud pro každé \epsilon > 0 existuje okolí U(x_{0}) tak, že platí pro y \in U(x_{0} \ \{x_{0}\}) je |f(y) - L|<\epsilon.

Pozn: U funkcí více proměnných nemůžeme použít vychytávek limit funkcí jedné proměnné. Můžem ale využít například triku zápisu bodu pomocí polární souřadnice (zápis s \rho a cosinem úhlu - kde \rho je délka k bodu z počátku a cosinus úhel přímky)

Existence limity je hodně silné tvrzení. Ve většině případů tomu tak nebude.

Definice (spojitost): Řekneme, že funkce f: M \to R, M \subset R^n je spojití v bodě x_{n} \in M, když je bod x_{0} isolovaný, nebo pokud f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0}, x\in M }f(x) (má v bodě limitu)

Cvičení

• příklady z analytické geometrie
• pozn: koeficienty roviny ve 3D jsou hodnoty normálového vektoru
• dále pak rovnice kružnice, elipsy, hyperboly a paraboly
• rovnost x^2 + y^2 + z^2 = x mluví o obalu koule. Nerovnosit mluví o obsahu nebo o všem kolem koule.
• množina lze zapsat pomocí více rovnic a vznikne pak třeba trojúhelník

Pozn:

• rovnice kružnice: x^2 + y^2 = r^2
• rovnice elipsy: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
• rovnice paraboly: y = ax^2, x = ay^2
• rovnice hyperboly: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 nebo \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1