98 lines
3.2 KiB
Markdown
98 lines
3.2 KiB
Markdown
# Přímočarý pohyb
|
|
$v(t) = \frac{dx}{dt}$
|
|
$a(t) = \frac{dv}{dt}$
|
|
|
|
pokud $a = 0$, pak $v = konst.$ -> $x(t) = x_{0} + vt$. Pak je to středoškolský rovnoměrný pohyb.
|
|
|
|
Jinak pro nějakou funkci $a(t)$ je rychlosti integrál $\int a(t)dt =\int x''(t)dt = a(t)t + C$
|
|
Pro polohu:
|
|
$$
|
|
\int''a(t)dt = \int a(t)t + v_{0} = \frac{1}{2}a(t)t^2 +v_{0}t + x_{0}
|
|
$$
|
|
|
|
# Pohyb po kružnici
|
|
- zde se pohybuje v úhlech. Místo vzdálenosti máme úhel $\varphi$.
|
|
- Máme **úhlovou rychlost**, což je $\frac{\varphi}{t}$
|
|
|
|
Platí: $$\omega(t) = \frac{\delta \varphi}{\delta t}$$
|
|
- Máme **úhlové zrychlení** epsilon
|
|
$$
|
|
\epsilon (t)= \frac{\delta \omega}{\delta t}
|
|
$$
|
|
|
|
Z druhé strany pro integrály platí:
|
|
$$
|
|
\int \epsilon (t) dt= \epsilon(t)t + \omega_{0}
|
|
$$
|
|
|
|
$$
|
|
\int'' \epsilon (t) dt=\frac{1}{2}\epsilon(t)t^2 + \omega_{0}t + \varphi_{0}
|
|
$$
|
|
|
|
Speciální případ kdy $\epsilon = 0$, $\omega = konst.$ -> $\varphi(t) = \omega t + \varphi_{0}$.
|
|
|
|
**Rychlost v bodě je** $v = \omega*R$, obecně je to ale vektorový součin:
|
|
$$
|
|
v = \omega \times r
|
|
$$, kde v je vektor rychlosti, omega je vektor úhlové rychlosti a r je polohový vektor (ukazuje od středu na kružnici)
|
|
Dostředivé zrychlené -> to, co udržuje těleso v pohybu po kružnici
|
|
$$
|
|
a_{d} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R
|
|
$$
|
|
|
|
## Parametrická verze pohybu po kružnici
|
|
Lze říct, že úhel, je úhlová rychlost krát čas
|
|
$$
|
|
\varphi(t) = \omega t
|
|
$$ Pak lze rozdělit každou složku pohybu pomocí parametru úhlu na:
|
|
$$
|
|
x(t) = R\cos(\omega t)
|
|
$$
|
|
$$
|
|
y(t) = R \sin(\omega t)
|
|
$$
|
|
|
|
Když zderivujeme, dostaneme **rychlost**:
|
|
$$
|
|
v_{x}(t) = \frac{\delta x}{\delta t} = -R\sin(\omega t)\omega
|
|
|
|
$$
|
|
$$
|
|
v_{y}(t) = \frac{\delta y}{\delta t} = R\cos(\omega t)\omega
|
|
$$
|
|
Takto vlastně můžeme spočítat vektor rychlosti...
|
|
Samozřejmě můžeme pokračovat na zrychlení:
|
|
$$
|
|
a_{x}(t) = \frac{\delta v_{x}(t)}{\delta t} = -R\cos(\omega t)\omega^2
|
|
|
|
$$
|
|
$$
|
|
a_{y}(t) = \frac{\delta v_{y}(t)}{\delta t} = -R\sin(\omega t)\omega^2
|
|
$$
|
|
Velikost rychlosti můžu spočítat skalaráním součinem nebo pomocí pythagorovy věty:
|
|
$|v| = \sqrt{[R\omega]^2\sin^2(\omega t) + [R\omega]^2\cos^2(\omega t) } = \sqrt{R^2\omega^2} = R\omega$, protože $\sin^2 + \cos^2 = 1$. Z toho vychází vzorec $v = R\omega$.
|
|
|
|
Podobně se zrychlením:
|
|
$|a| = \sqrt{ [-R\omega^2]^2\cos^2(\omega t) + [-R\omega^2]^2\sin^(\omega t) } = \sqrt{ R^2\omega^4 }=R\omega^2 = \frac{v^2}{R}$
|
|
Zároveň platí, že $a = -R\omega^2$.
|
|
**To znamená, že zrychlení je záporný násobek polohového vektoru!**
|
|
|
|
Pokud se mění i velikost rychlosti, rozkládáme zrychlení na 2 složky:
|
|
- tečné (mění velikost rychlosti)
|
|
- normálové (mění směr)
|
|
# Pohyb po křivce
|
|
|
|
Rozdělíme si pohyb v 3D prostoru do vektoru:
|
|
$$r(t) = (x(t),y(t),z(z))$$
|
|
$$v(t) = \frac{\delta r}{\delta t} =(\frac{\delta x}{\delta t}, \frac{\delta y}{\delta t}, \frac{\delta z}{\delta t})$$
|
|
$$
|
|
a(t) = \frac{\delta v}{\delta t}
|
|
$$
|
|
|
|
**[Frenetův rámec](https://cs.frwiki.wiki/wiki/Rep%C3%A8re_de_Frenet)**: rozdělení složek na:
|
|
- tečnou složku: $a_{t} = \frac{\delta v}{\delta t}$, která mění pouze rychlost
|
|
- normálovou složku $a_{n} = v^2\rho$, která mění pouze směr
|
|
|
|
- $\rho$ je poloměr křivosti $k$, trajektorie : poloměr kruhu, který nejlépe odpovídá kružnici v bodě (hádám jejímu zrychlení v bodě).
|
|
|