FY1/Kinematika.md

Přímočarý pohyb

v(t) = \frac{dx}{dt} a(t) = \frac{dv}{dt}

pokud a = 0, pak v = konst. -> x(t) = x_{0} + vt. Pak je to středoškolský rovnoměrný pohyb.

Jinak pro nějakou funkci a(t) je rychlosti integrál \int a(t)dt =\int x''(t)dt = a(t)t + C Pro polohu:

\int''a(t)dt = \int a(t)t + v_{0} = \frac{1}{2}a(t)t^2 +v_{0}t + x_{0}

Pohyb po kružnici

• zde se pohybuje v úhlech. Místo vzdálenosti máme úhel \varphi.
• Máme úhlovou rychlost, což je \frac{\varphi}{t}

Platí: \omega(t) = \frac{\delta \varphi}{\delta t}

• Máme úhlové zrychlení epsilon

\epsilon (t)= \frac{\delta \omega}{\delta t}

Z druhé strany pro integrály platí:

\int \epsilon (t) dt= \epsilon(t)t + \omega_{0}

\int'' \epsilon (t) dt=\frac{1}{2}\epsilon(t)t^2 + \omega_{0}t + \varphi_{0}

Speciální případ kdy \epsilon = 0, \omega = konst. -> \varphi(t) = \omega t + \varphi_{0}.

Rychlost v bodě je v = \omega*R, obecně je to ale vektorový součin:

v = \omega \times r 
$$, kde v je vektor rychlosti, omega je vektor úhlové rychlosti a r je polohový vektor (ukazuje od středu na kružnici)
Dostředivé zrychlené -> to, co udržuje těleso v pohybu po kružnici

a_{d} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R

## Parametrická verze pohybu po kružnici
Lze říct, že úhel, je úhlová rychlost krát čas

\varphi(t) = \omega t $$ Pak lze rozdělit každou složku pohybu pomocí parametru úhlu na:

x(t) = R\cos(\omega t)

y(t) = R \sin(\omega t)

Když zderivujeme, dostaneme rychlost:

v_{x}(t) = \frac{\delta x}{\delta t} = -R\sin(\omega t)\omega

v_{y}(t) = \frac{\delta y}{\delta t} = R\cos(\omega t)\omega

Takto vlastně můžeme spočítat vektor rychlosti... Samozřejmě můžeme pokračovat na zrychlení:

a_{x}(t) = \frac{\delta v_{x}(t)}{\delta t} = -R\cos(\omega t)\omega^2

a_{y}(t) = \frac{\delta v_{y}(t)}{\delta t} = -R\sin(\omega t)\omega^2

Velikost rychlosti můžu spočítat skalaráním součinem nebo pomocí pythagorovy věty: |v| = \sqrt{[R\omega]^2\sin^2(\omega t) + [R\omega]^2\cos^2(\omega t) } = \sqrt{R^2\omega^2} = R\omega, protože \sin^2 + \cos^2 = 1. Z toho vychází vzorec v = R\omega.

Podobně se zrychlením: |a| = \sqrt{ [-R\omega^2]^2\cos^2(\omega t) + [-R\omega^2]^2\sin^(\omega t) } = \sqrt{ R^2\omega^4 }=R\omega^2 = \frac{v^2}{R} Zároveň platí, že a = -R\omega^2. To znamená, že zrychlení je záporný násobek polohového vektoru!

Pokud se mění i velikost rychlosti, rozkládáme zrychlení na 2 složky:

• tečné (mění velikost rychlosti)
• normálové (mění směr)

Pohyb po křivce

Rozdělíme si pohyb v 3D prostoru do vektoru:

r(t) = (x(t),y(t),z(z)) v(t) = \frac{\delta r}{\delta t} =(\frac{\delta x}{\delta t}, \frac{\delta y}{\delta t}, \frac{\delta z}{\delta t})

a(t) = \frac{\delta v}{\delta t}

Frenetův rámec: rozdělení složek na:

• tečnou složku: a_{t} = \frac{\delta v}{\delta t}, která mění pouze rychlost

• normálovou složku a_{n} = v^2\rho, která mění pouze směr

• \rho je poloměr křivosti k, trajektorie : poloměr kruhu, který nejlépe odpovídá kružnici v bodě (hádám jejímu zrychlení v bodě).