11 KiB
- neboli harmonický ustálený stav (SSS - sinusoidal steady state)
Chyby: asi definice
Narozdíl od stejnosměrného ustáleného stavu (SUS), kde teče pouze stejnosměrná složka proudu se napětí a proud v HUS periodicky mění. HUS obvod může být složen z různých prvků, jeho hlavní znak ale je, že frekvence zůstává konstantní (popř. úhlová rychlost).
Základně lze napětí a proud popsat takto:
u(t) = U_{max}\sin(\omega t + \varphi_{u})
i(t) = I_{max}\sin(\omega t + \varphi_{i})
kde u(t) a i(t) jsou funkce napětí a proudu prvku/obvodu, U_{max} a I_{max} jsou maximální hodnoty napětí a proudu. Natahují nám hodnoty \sin a \cos, protože základně mají hodnotu \pm1, \omega je úhlová rychlost, t je čas a \varphi_{u} a \varphi_{i} jsou hodnoty fáze, neboli posunutí goniometrických funkcí od počátku (doprava/doleva). Zásadní fakt v HUS obvodech je, že fáze mezi proudem a napětím nemusí být nulová - tedy proud se vůči napětí zpožďuje nebo naopak jde napřed.
Převodní vztah mezi úhlovou rychlostí, frekvencí a periodou:
\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \space f = \frac{1}{T}
Eulerova identita, Fázory
Myšlenka je taková, že si základní periodická změna proudu a napětí lze rozšířit ze základního vzorce o komplexní část.
u(t) = U_{max}\sin(\omega t + \varphi_{u}) = U_{max}\cos\left( \omega t + \varphi_{u} - \frac{\pi}{2} \right)
Zde převedeme sinus na cosinus pomocí \sin(x) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right). Dále budu psát cosinus bez \frac{\pi}{2}, kde je ale třeba dbát na to, že fáze není stejná u zápisu se sinem a cosinem (přesněji je rozdílná o \frac{\pi}{2}).
Takže prostě nyní pracujeme s:
u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u})
i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i})
protože se nám to víc hodí. (kde značím \varphi', aby bylo jasné, že to není stejná fáze jako u sin).
To teď můžeme přidat a komplexní část:
u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u}) + jU_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{u})
i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i}) + jI_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{i})
Eulerova identita a k čemu ji využijeme
Máme víc různých možností, jak zapsat komplexní číslo. Základní je algebraická tvar: K = A + jB, s kterých se jednoduše sčítá a odčítá. Pro zápis proudu a napětí jsme použili goniometrická tvar: K = |K|(\cos(x) + j\sin(x)) = |K|\cos(x) + j|K|\sin(x), který je zase vhodný pro jednoduché násobení a dělení, popř. mocnění.
Tento goniometrický tvar jsme použili právě pro zápis u(t) a i(t).
Dalšího tvaru můžeme dosáhnout pomocí Eulerovi identity:
e^{jx} = \cos(x) + j\sin(x)
Pokud pomocí této identity přepíšeme našeho hodnoty napětí a proudu dostaneme:
u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u}) + jU_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{u}) = U_{max}e^{j(\omega t + \varphi'_{u})} = U_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{u}}
i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i}) + jI_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{i}) = I_{max}e^{j(\omega t + \varphi'_{i})} = I_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{i}}
Eulerovský tvar má mimochodem výhodu ve snadné derivaci.
Co je to fázor?
Když teď máme tvar u(t) = U_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{u}} a tvar i(t) = I_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{i}}. Můžeme si to kapánek zjednodušit a říct, že fázor je \hat{I} = I_{max}e^{j\varphi'_{i}} a \hat{U} = U_{max}e^{j\varphi'_{u}}. To nám zjednoduší rovnici na
u(t) = \hat{U}e^{j\omega t}
i(t) = \hat{I}e^{j\omega t}
Co je teda ten fázor? Je to pouze konstantní komplexní číslo o velikosti amplitudy hodnoty a úhlu o velikosti fáze hodnoty. Na zbytku nám po většinu času výpočtu nezáleží, protože v HUS mají všechny prvky stejné e^{j\omega t}. Můžeme také říct, že to je eulerovský přepis
A\cos(\varphi) + jA\sin(\varphi) = Ae^{j\varphi} = \hat{A}. Je to komplexní číslo o délce A a úhlu \varphi od komplexní osy.
Jiný způsob jak zapsat fázor je: A \angle \varphi. např: 10 \angle 70 (číslo o velikosti 10 a fázi 70 stupňů)
Impedance a výpočet hodnot obvody s fázoru
V SUS obvodu šlo počítat prakticky vše pomocí ohmova zákona U = RI. Bohužel v HUS obvodech jednoduchý přepis u(t) = R \cdot i(t) neplatí!! Místo toho potřebujeme zavést tzv. impedanci (značíme Z měřeno v \ohm).
Z = R + jX
Impedance Z je komplexní číslo tvořené z reálné rezistivity R (\ohm) a komplexní reaktance X (\ohm). V obvodu máme 3 základní prvky, jejichž impedanci dokážeme vyvodit.
Impedance rezistoru, kapacitoru a induktoru
Impedance (rezistance) rezistoru
Rezistor má reaktanci ze všeho nejjednodušší a to Z = R. Jeho impedance je stejná jako odpor. Je ryze reálná a nijak neovlivňuje fázi.
Impedance (reaktance) induktoru
Impedanci induktoru odvodíme ze základní rovnice u(t) = L \cdot \frac{d}{dt}i(t).
u(t) = L \cdot \frac{d}{dt}i(t) = L \frac{d}{dt}(I_{max}e^{j\omega t}) = j\omega LI_{max}e^{j\omega t} = j\omega L i(t).
Z toho víme, že u(t) je otočeno o 90 stupňů vůči i(t), protože i(t) je ryze komplexní násobek u(t) (když vynásobím číslo pomocí j. tak se otočí o 90 stupňů).
Taky z toho plyne, že:
\frac{u(t)}{i(t)} = j\omega L = Z_{L}
Induktor má čistě reaktanci a napětí předchází proud o 90 stupňů.
Impedance kondenzátoru
U kapacitoru na to můžeme jít stejně jako induktoru. Víme: i(t) = C\cdot \frac{d}{dt}u(t)
i(t) = C \frac{d}{dt}(U_{max}e^{j\omega t}) = j\omega CU_{max}e^{j\omega t} = j\omega C u(t)
Z toho plyne, že funkce napětí předchází proud o 90 stupňů v případě zapojení kondenzátoru. Upraveno na:
\frac{i(t)}{u(t)} = j\omega C = \frac{1}{Z_{C}}
\frac{u(t)}{i(t)} = \frac{1}{j\omega C} = Z_{C}
Ještě to jde odvodit z rovnice q(t) = C \cdot u(t).
Zase jde vidět, že impedance kondenzátoru je ryze komplexní a fáze mezi napětí a proudem je 90 stupňů, zde ale naopak proud předchází napětí.
Počty s impedancí.
Impedance v obvodu lze normálně sčítat a odčítat stejně jako bychom sčítali a odčítali prvky s odporem. Každý prvek si můžeme představit jako krabičku, co má nějakou vlastní impedanci a postupně je sčítáme/odčítáme podle pravidel postupného zjednodušování obvodů s odpory.
Z_{1} + Z_{2} = (R_{1} + R_{2}) + j(X_{1} + X_{2}). Ostatní operace jdou jednoduše algebraicky odvodit. (jupí tohle chce každý slyšet, ale psát v latexu je pomalé, a já jsem liný.)
Dále pak můžeme jednodušeji počítat pomocí tvaru A \angle \varphi, kde A je velikost fázoru a \varphi je fáze fázoru. Obecně platí:
(A \angle a)(B \angle b) = AB \angle(a+b)
\frac{A \angle a}{B \angle b} = \frac{A}{B} \angle (a-b)
Impedance a fáze
S impedancí, jak šlo vidět o dovození impedance cívky a kondenzátoru souvisí fáze mezi i(t) a u(t). Jednoduchý vzoreček výpočtu je:
\arctan\left( \frac{X}{R} \right)
kde X je reaktance a R je rezistance.
Další poznatky vlastností
Když máme pouze CL obvody, můžeme si všimnout, že fáze je buď \frac{\pi}{2} nebo -\frac{\pi}{2}
Impedance a fázory, celý obvod!!
Když známe fázory i impedanci, můžeme konečně najít obdobu vztahu Ohmova zákona pro harmonický ustálený stav a to:
\hat{U} = Z \hat{I}
$$neboli fázor napětí je impedanci krát fázoru proudu.
### Příklad
Řekněme, že mám fázor proudu: $\hat{U} = 2 \angle 0$ a impedanci $Z = 4 + j10$
$Z$ můžeme přepsat na $|Z| = \sqrt{ 4^2 + 10^2} = \sqrt{ 16 + 100 } = \sqrt{ 116 } = cca \frac{21}{2}$
$\varphi_{Z} = \arctan\left( \frac{10}{4} \right) = cca 70$
$Z = 10.5 \angle70$
$\hat{U} = Z \hat{I} = (10.5 \angle 70)(2 \angle 0) = 21 \angle70$
**Teď máme všechno pro analýzu celých obvodů.** Můžeme používat standardní metody pro analýzu obvodů, akorát místo odporů a napětí máme impedance a fázory napětí. Platí standardní dělení proudu mezi cesty a standardní sériové dělení napětí mezi prvky.
**Platí Kirchhoffovi zákony, obvodové rovnice, princip superpozice, etc. akorát s komplexními členy.**
# Průměrné hodnoty a výkony
Nyní nás bude zajímat, jak zjistit z těchto hodnot **výkon**. Víme, že výkon je $P = UI$.
Jestli chceme, můžeme měřit tzv. **okamžitý výkon**, tedy přesný výkon v čase, který je:
p(t) = u(t)i(t) = U_{max}I_{max}\cos(\omega t + \varphi_{u})\cos(\omega t+\varphi_{i})
Abychom se nemuseli trápit s okamžitým výkonem a jeho integrování existuje strategie, jak se tohle celé obejít a to je **najít průměrnou hodnotu proudu a napětí**. **Průměrná ale přesně být nemůže**, protože průměr sin/cos na periodě je 0, proto hledáme strategii, jak najít průměr absolutní hodnoty ze sinu/cosinu.
To je tzv. **RMS** (root mean square) neboli česky **střední hodnota**. A spočítá se jako
$$I_{RMS} = \frac{I_{max}}{\sqrt{ 2 }},U_{RMS} = \frac{U_{max}}{\sqrt{ 2 }}$$
To proto, protože průměrná hodnota $\cos^2(x)$ je $\frac{1}{2}$. Tedy průměrná hodnota $|\cos x|$ je $\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$.
## Výkony
Máme vlastně 3 výkony, které nás zajímají. Máme reálnou složku výkonu (činný výkon), imaginární složku výkonu a jejich součet.
### Činný výkon
**Máme činný výkon (reálnou složku výkonu)**, který bychom mohli [dostat](https://cs.wikipedia.org/wiki/Elektrick%C3%BD_v%C3%BDkon) z integrálu okamžitého výkonu na svoji periodě.
Výpočet je $P = U_{RMS}I_{RMS}\cos(\varphi)$, kde $\varphi$ je fázový posuv napětí vůči proudu. Mimochodem $\cos(\varphi)$ se říká účiník.
Tohle je složka, která reálně dělá normální práci v našem obvodu (svítí, hýbe motorem, etc.)
Jednotka jsou watty
### Jalový výkon
Jalový výkon je imaginární část našeho výkonu a spočítáme ho jako
Q = U_{RMS}I_{RMS}\sin(\varphi)
$$ kde \varphi je fázový posun mezin proudem a napětím.
V obvodu se jalový výkon přelívá tam a zpět mezi magnetickým polem cívek nebo elektrickým polem kondenzátoru a v obvodu nevykonává žádnou reálně využitelnou práci.
Jednota jsou VAR
Zdánlivý výkon
Zdánlivý výkon je kombinace jak jalového tak činného výkonu a spočítá se takto:
S = U_{RMS}I_{RMS}
Popřípadě můžu počítat i pomocí fázorů:
S = \hat{U}\hat{I*}
kde \hat{I}* je komplexně družení fázor proudu. Tedy komplexně sdružené číslo má opačnou hodnotu komplexní části.
A* = (A + ja)* = (A - ja)
jednotka jsou VA