- neboli harmonický ustálený stav (SSS - [sinusoidal steady state](https://www.geeksforgeeks.org/electrical-engineering/sinusoidal-steady-state-analysis-electric-circuits/))

**Chyby**: asi definice 

Narozdíl od stejnosměrného ustáleného stavu (SUS), kde teče pouze stejnosměrná složka proudu se napětí a proud v HUS periodicky mění. HUS obvod může být složen z různých prvků, jeho hlavní znak ale je, **že frekvence zůstává konstantní** (popř. úhlová rychlost).

Základně lze napětí a proud popsat takto:
$u(t) = U_{max}\sin(\omega t + \varphi_{u})$ 
$i(t) = I_{max}\sin(\omega t + \varphi_{i})$

kde $u(t)$ a $i(t)$ jsou funkce napětí a proudu prvku/obvodu, $U_{max}$ a $I_{max}$ jsou maximální hodnoty napětí a proudu. Natahují nám hodnoty $\sin$ a $\cos$, protože základně mají hodnotu $\pm1$, $\omega$ je úhlová rychlost, $t$ je čas a $\varphi_{u}$ a $\varphi_{i}$ jsou hodnoty fáze, neboli posunutí goniometrických funkcí od počátku (doprava/doleva). **Zásadní fakt v HUS obvodech je, že fáze mezi proudem a napětím nemusí být nulová** - tedy proud se vůči napětí zpožďuje nebo naopak jde napřed.

Převodní vztah mezi úhlovou rychlostí, frekvencí a periodou:
$$
\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \space f = \frac{1}{T}
$$
# Eulerova identita, Fázory
Myšlenka je taková, že si základní periodická změna proudu a napětí lze rozšířit ze základního vzorce o komplexní část.
$$u(t) = U_{max}\sin(\omega t + \varphi_{u}) = U_{max}\cos\left( \omega t + \varphi_{u} - \frac{\pi}{2} \right)$$
Zde převedeme sinus na cosinus pomocí $\sin(x) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right)$. Dále budu psát cosinus bez $\frac{\pi}{2}$, kde je ale třeba dbát na to, že fáze není stejná u zápisu se sinem a cosinem (přesněji je rozdílná o $\frac{\pi}{2}$).

Takže prostě nyní pracujeme s:
$u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u})$
$i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i})$

protože se nám to víc hodí. (kde značím $\varphi'$, aby bylo jasné, že to není stejná fáze jako u sin).

To teď můžeme přidat a komplexní část:
$u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u}) + jU_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{u})$
$i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i}) + jI_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{i})$

![](https://tikz.net/files/complex-004.png)
## Eulerova identita a k čemu ji využijeme
Máme víc různých možností, jak zapsat komplexní číslo. Základní je **algebraická tvar**: $K = A + jB$, s kterých se jednoduše sčítá a odčítá. Pro zápis proudu a napětí jsme použili **goniometrická tvar:** $K = |K|(\cos(x) + j\sin(x)) = |K|\cos(x) + j|K|\sin(x)$, který je zase vhodný pro jednoduché násobení a dělení, popř. mocnění.
Tento goniometrický tvar jsme použili právě pro zápis $u(t)$ a $i(t)$.
Dalšího tvaru můžeme dosáhnout pomocí **Eulerovi identity**:
$$
e^{jx} = \cos(x) + j\sin(x)
$$
Pokud pomocí této identity přepíšeme našeho hodnoty napětí a proudu dostaneme:
$$
u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u}) + jU_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{u}) = U_{max}e^{j(\omega t + \varphi'_{u})} = U_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{u}}
$$
$$
i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i}) + jI_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{i}) = I_{max}e^{j(\omega t + \varphi'_{i})} = I_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{i}}
$$

Eulerovský tvar má mimochodem výhodu ve snadné derivaci.
## Co je to fázor?
Když teď máme tvar $u(t) = U_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{u}}$ a tvar $i(t) = I_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{i}}$. Můžeme si to kapánek zjednodušit a říct, že fázor je $\hat{I} = I_{max}e^{j\varphi'_{i}}$ a $\hat{U} = U_{max}e^{j\varphi'_{u}}$. To nám zjednoduší rovnici na
$$
u(t) = \hat{U}e^{j\omega t} 
$$
$$
i(t) = \hat{I}e^{j\omega t}
$$

**Co je teda ten fázor?** Je to pouze konstantní komplexní číslo o velikosti amplitudy hodnoty a úhlu o velikosti fáze hodnoty. Na zbytku nám po většinu času výpočtu nezáleží, protože v HUS mají všechny prvky stejné $e^{j\omega t}$. Můžeme také říct, že to je eulerovský přepis
$A\cos(\varphi) + jA\sin(\varphi) = Ae^{j\varphi} = \hat{A}$. Je to komplexní číslo o délce A a úhlu $\varphi$ od komplexní osy.

**Jiný způsob jak zapsat fázor je**: $A \angle \varphi$. např: $10 \angle 70$ (číslo o velikosti 10 a fázi 70 stupňů)

# Impedance a výpočet hodnot obvody s fázoru
V SUS obvodu šlo počítat prakticky vše pomocí ohmova zákona $U = RI$. Bohužel v HUS obvodech jednoduchý přepis $u(t) = R \cdot i(t)$ **neplatí!!** Místo toho potřebujeme zavést tzv. **impedanci** (značíme $Z$ měřeno v $\ohm$).
$$
Z = R + jX
$$
**Impedance** $Z$ je komplexní číslo tvořené z reálné **rezistivity** $R$ ($\ohm$) a komplexní **reaktance** $X$ ($\ohm$). V obvodu máme 3 základní prvky, jejichž impedanci dokážeme vyvodit.

## Impedance rezistoru, kapacitoru a induktoru
### Impedance (rezistance) rezistoru
Rezistor má reaktanci ze všeho nejjednodušší a to $Z = R$. Jeho impedance je stejná jako odpor. Je ryze reálná a nijak neovlivňuje fázi.
### Impedance (reaktance) induktoru
Impedanci induktoru odvodíme ze základní rovnice $u(t) = L \cdot \frac{d}{dt}i(t)$.
$$
u(t) = L \cdot \frac{d}{dt}i(t) = L \frac{d}{dt}(I_{max}e^{j\omega t}) = j\omega LI_{max}e^{j\omega t} = j\omega L i(t).
$$
Z toho víme, že $u(t)$ je otočeno o 90 stupňů vůči $i(t)$, protože $i(t)$ je ryze komplexní násobek $u(t)$ (když vynásobím číslo pomocí $j$. tak se otočí o 90 stupňů).
**Taky z toho plyne, že:**
$$
\frac{u(t)}{i(t)} = j\omega L = Z_{L}
$$
**Induktor má čistě reaktanci a napětí předchází proud o 90 stupňů.**
### Impedance kondenzátoru
U kapacitoru na to můžeme jít stejně jako induktoru. Víme: $i(t) = C\cdot \frac{d}{dt}u(t)$
$$
i(t) = C \frac{d}{dt}(U_{max}e^{j\omega t}) = j\omega CU_{max}e^{j\omega t} = j\omega C u(t)
$$
Z toho plyne, že funkce napětí předchází proud o 90 stupňů v případě zapojení kondenzátoru. Upraveno na:
$$
\frac{i(t)}{u(t)} = j\omega C = \frac{1}{Z_{C}}
$$
$$
\frac{u(t)}{i(t)} = \frac{1}{j\omega C} = Z_{C}
$$

Ještě to jde odvodit z rovnice $q(t) = C \cdot u(t)$.
Zase jde vidět, že impedance kondenzátoru je ryze komplexní a fáze mezi napětí a proudem je 90 stupňů, zde ale naopak proud předchází napětí.

## Počty s impedancí.
Impedance v obvodu lze normálně sčítat a odčítat stejně jako bychom sčítali a odčítali prvky s odporem. Každý prvek si můžeme představit jako krabičku, co má nějakou vlastní impedanci a postupně je sčítáme/odčítáme podle pravidel postupného zjednodušování obvodů s odpory.

$Z_{1} + Z_{2} = (R_{1} + R_{2}) + j(X_{1} + X_{2})$. Ostatní operace jdou jednoduše algebraicky odvodit. (jupí tohle chce každý slyšet, ale psát v latexu je pomalé, a já jsem liný.)

Dále pak můžeme jednodušeji počítat pomocí tvaru $A \angle \varphi$, kde A je velikost fázoru a $\varphi$ je fáze fázoru. Obecně platí:
$$
(A \angle a)(B \angle b) = AB \angle(a+b)
$$
$$
\frac{A \angle a}{B \angle b} = \frac{A}{B} \angle (a-b)
$$

## Impedance a fáze
S impedancí, jak šlo vidět o dovození impedance cívky a kondenzátoru souvisí fáze mezi $i(t)$ a $u(t)$. Jednoduchý vzoreček výpočtu je:
$$
\arctan\left( \frac{X}{R} \right)
$$
kde $X$ je reaktance a $R$ je rezistance.

### Další poznatky vlastností
Když máme pouze CL obvody, můžeme si všimnout, že fáze je buď $\frac{\pi}{2}$ nebo $-\frac{\pi}{2}$

## Impedance a fázory, celý obvod!!
Když známe fázory i impedanci, můžeme konečně najít obdobu vztahu Ohmova zákona pro harmonický ustálený stav a to:
$$
\hat{U} = Z \hat{I}
$$neboli fázor napětí je impedanci krát fázoru proudu.

### Příklad
Řekněme, že mám fázor proudu: $\hat{U} = 2 \angle 0$ a impedanci $Z = 4 + j10$
$Z$ můžeme přepsat na $|Z| = \sqrt{ 4^2 + 10^2} = \sqrt{ 16 + 100 } = \sqrt{ 116 } = cca \frac{21}{2}$
$\varphi_{Z} = \arctan\left( \frac{10}{4} \right) = cca 70$
$Z = 10.5 \angle70$
$\hat{U} = Z \hat{I} = (10.5 \angle 70)(2 \angle 0) = 21 \angle70$

**Teď máme všechno pro analýzu celých obvodů.** Můžeme používat standardní metody pro analýzu obvodů, akorát místo odporů a napětí máme impedance a fázory napětí. Platí standardní dělení proudu mezi cesty a standardní sériové dělení napětí mezi prvky.
**Platí Kirchhoffovi zákony, obvodové rovnice, princip superpozice, etc. akorát s komplexními členy.**
# Průměrné hodnoty a výkony
Nyní nás bude zajímat, jak zjistit z těchto hodnot **výkon**. Víme, že výkon je $P = UI$.
Jestli chceme, můžeme měřit tzv. **okamžitý výkon**, tedy přesný výkon v čase, který je:
$$
p(t) = u(t)i(t) = U_{max}I_{max}\cos(\omega t + \varphi_{u})\cos(\omega t+\varphi_{i})
$$

Abychom se nemuseli trápit s okamžitým výkonem a jeho integrování existuje strategie, jak se tohle celé obejít a to je **najít průměrnou hodnotu proudu a napětí**. **Průměrná ale přesně být nemůže**, protože průměr sin/cos na periodě je 0, proto hledáme strategii, jak najít průměr absolutní hodnoty ze sinu/cosinu.

To je tzv. **RMS** (root mean square) neboli česky **střední hodnota**. A spočítá se jako 
$$I_{RMS} = \frac{I_{max}}{\sqrt{ 2 }},U_{RMS} = \frac{U_{max}}{\sqrt{ 2 }}$$
To proto, protože průměrná hodnota $\cos^2(x)$ je $\frac{1}{2}$. Tedy průměrná hodnota $|\cos x|$ je $\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$.

## Výkony
Máme vlastně 3 výkony, které nás zajímají. Máme reálnou složku výkonu (činný výkon), imaginární složku výkonu a jejich součet.

### Činný výkon
**Máme činný výkon (reálnou složku výkonu)**, který bychom mohli [dostat](https://cs.wikipedia.org/wiki/Elektrick%C3%BD_v%C3%BDkon) z integrálu okamžitého výkonu na svoji periodě.

Výpočet je $P = U_{RMS}I_{RMS}\cos(\varphi)$, kde $\varphi$ je fázový posuv napětí vůči proudu. Mimochodem $\cos(\varphi)$ se říká účiník.

Tohle je složka, která reálně dělá normální práci v našem obvodu (svítí, hýbe motorem, etc.)

Jednotka jsou watty

### Jalový výkon
Jalový výkon je imaginární část našeho výkonu a spočítáme ho jako
$$
Q = U_{RMS}I_{RMS}\sin(\varphi)
$$ kde $\varphi$ je fázový posun mezin proudem a napětím.

V obvodu se jalový výkon přelívá tam a zpět mezi magnetickým polem cívek nebo elektrickým polem kondenzátoru a v obvodu nevykonává žádnou reálně využitelnou práci.

Jednota jsou VAR

### Zdánlivý výkon
Zdánlivý výkon je kombinace jak jalového tak činného výkonu a spočítá se takto:
$$
S = U_{RMS}I_{RMS}
$$
Popřípadě můžu počítat i pomocí fázorů:
$$
S = \hat{U}\hat{I*} 
$$
kde $\hat{I}*$ je komplexně družení fázor proudu. Tedy komplexně sdružené číslo má opačnou hodnotu komplexní části.
$A* = (A + ja)* = (A - ja)$

jednotka jsou VA