added HUS
This commit is contained in:
185
HUS.md
Normal file
185
HUS.md
Normal file
@@ -0,0 +1,185 @@
|
||||
- neboli harmonický ustálený stav (SST - [sinusoidal steady state](https://www.geeksforgeeks.org/electrical-engineering/sinusoidal-steady-state-analysis-electric-circuits/))
|
||||
|
||||
**Chyby**: obráceně co co předchází, rovnice induktoru, vzorec impeance -> Z = R + jX, ne Z = R + X,
|
||||
|
||||
Narozdíl od stejnosměrného ustáleného stavu (SUS), kde teče pouze stejnosměrná složka proudu se napětí a proud v HUS periodicky mění. HUS obvod může být složen z různých prvků, jeho hlavní znak ale je, **že frekvence zůstává konstantní** (popř. úhlová rychlost).
|
||||
|
||||
Základně lze napětí a proud popsat takto:
|
||||
$u(t) = U_{max}\sin(\omega t + \varphi_{u})$
|
||||
$i(t) = I_{max}\sin(\omega t + \varphi_{i})$
|
||||
|
||||
kde $u(t)$ a $i(t)$ jsou funkce napětí a proudu prvku/obvodu, $U_{max}$ a $I_{max}$ jsou maximální hodnoty napětí a proudu. Natahují nám hodnoty $\sin$ a $\cos$, protože základně mají hodnotu $\pm1$, $\omega$ je úhlová rychlost, $t$ je čas a $\varphi_{u}$ a $\varphi_{i}$ jsou hodnoty fáze, neboli posunutí goniometrických funkcí od počátku (doprava/doleva). **Zásadní fakt v HUS obvodech je, že fáze mezi proudem a napětím nemusí být nulová** - tedy proud se vůči napětí zpožďuje nebo naopak jde napřed.
|
||||
|
||||
Převodní vztah mezi úhlovou rychlostí, frekvencí a periodou:
|
||||
$$
|
||||
\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \space f = \frac{1}{T}
|
||||
$$
|
||||
# Eulerova identita, Fázory
|
||||
Myšlenka je taková, že si základní periodická změna proudu a napětí lze rozšířit ze základního vzorce o komplexní část.
|
||||
$$u(t) = U_{max}\sin(\omega t + \varphi_{u}) = U_{max}\cos\left( \omega t + \varphi_{u} - \frac{\pi}{2} \right)$$
|
||||
Zde převedeme sinus na cosinus pomocí $\sin(x) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right)$. Dále budu psát cosinus bez $\frac{\pi}{2}$, kde je ale třeba dbát na to, že fáze není stejná u zápisu se sinem a cosinem (přesněji je rozdílná o $\frac{\pi}{2}$).
|
||||
|
||||
Takže prostě nyní pracujeme s:
|
||||
$u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u})$
|
||||
$i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i})$
|
||||
|
||||
protože se nám to víc hodí. (kde značím $\varphi'$, aby bylo jasné, že to není stejná fáze jako u sin).
|
||||
|
||||
To teď můžeme přidat a komplexní část:
|
||||
$u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u}) + jU_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{u})$
|
||||
$i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i}) + jI_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{i})$
|
||||
|
||||
|
||||
## Eulerova identita a k čemu ji využijeme
|
||||
Máme víc různých možností, jak zapsat komplexní číslo. Základní je **algebraická tvar**: $K = A + jB$, s kterých se jednoduše sčítá a odčítá. Pro zápis proudu a napětí jsme použili **goniometrická tvar:** $K = |K|(\cos(x) + j\sin(x)) = |K|\cos(x) + j|K|\sin(x)$, který je zase vhodný pro jednoduché násobení a dělení, popř. mocnění.
|
||||
Tento goniometrický tvar jsme použili právě pro zápis $u(t)$ a $i(t)$.
|
||||
Dalšího tvaru můžeme dosáhnout pomocí **Eulerovi identity**:
|
||||
$$
|
||||
e^{jx} = \cos(x) + j\sin(x)
|
||||
$$
|
||||
Pokud pomocí této identity přepíšeme našeho hodnoty napětí a proudu dostaneme:
|
||||
$$
|
||||
u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u}) + jU_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{u}) = U_{max}e^{j(\omega t + \varphi'_{u})} = U_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{u}}
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i}) + jI_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{i}) = I_{max}e^{j(\omega t + \varphi'_{i})} = I_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{i}}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Eulerovský tvar má mimochodem výhodu ve snadné derivaci.
|
||||
## Co je to fázor?
|
||||
Když teď máme tvar $u(t) = U_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{u}}$ a tvar $i(t) = I_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{i}}$. Můžeme si to kapánek zjednodušit a říct, že fázor je $\hat{I} = I_{max}e^{j\varphi'_{i}}$ a $\hat{U} = U_{max}e^{j\varphi'_{u}}$. To nám zjednoduší rovnici na
|
||||
$$
|
||||
u(t) = \hat{U}e^{j\omega t} $$
|
||||
$$
|
||||
i(t) = \hat{I}e^{j\omega t}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Co je teda ten fázor?** Je to pouze konstantní komplexní číslo o velikosti amplitudy hodnoty a úhlu o velikosti fáze hodnoty. Na zbytku nám po většinu času výpočtu nezáleží, protože v HUS mají všechny prvky stejné $e^{j\omega t}$. Můžeme také říct, že to je eulerovský přepis
|
||||
$A\cos(\varphi) + jA\sin(\varphi) = Ae^{j\varphi} = \hat{A}$. Je to komplexní číslo o délce A a úhlu $\varphi$ od komplexní osy.
|
||||
|
||||
**Jiný způsob jak zapsat fázor je**: $A \angle \varphi$. např: $10 \angle 70$ (číslo o velikosti 10 a fázi 70 stupňů)
|
||||
|
||||
# Impedance a výpočet hodnot obvody s fázoru
|
||||
V SUS obvodu šlo počítat prakticky vše pomocí ohmova zákona $U = RI$. Bohužel v HUS obvodech jednoduchý přepis $u(t) = R \cdot i(t)$ **neplatí!!** Místo toho potřebujeme zavést tzv. **impedanci** (značíme $Z$ měřeno v $\ohm$).
|
||||
$$
|
||||
Z = R + X
|
||||
$$
|
||||
**Impedance** $Z$ je komplexní číslo tvořené z reálné **rezistivity** $R$ ($\ohm$) a komplexní **reaktance** $X$ ($\ohm$). V obvodu máme 3 základní prvky, jejichž impedanci dokážeme vyvodit.
|
||||
|
||||
## Impedance rezistoru, kapacitoru a induktoru
|
||||
### Impedance (rezistance) rezistoru
|
||||
Rezistor má reaktanci ze všeho nejjednodušší a to $Z = R$. Jeho impedance je stejná jako odpor. Je ryze reálná a nijak neovlivňuje fázi.
|
||||
### Impedance (reaktance) induktoru
|
||||
Impedanci induktoru odvodíme ze základní rovnice $u(t) = L \cdot i(t)$.
|
||||
$$
|
||||
u(t) = L \cdot \frac{d}{dt}i(t) = L \frac{d}{dt}(I_{max}e^{j\omega t}) = j\omega LI_{max}e^{j\omega t} = j\omega L i(t).
|
||||
$$
|
||||
Z toho víme, že $u(t)$ je otočeno o 90 stupňů vůči $i(t)$, protože $i(t)$ je ryze komplexní násobek $u(t)$ (když vynásobím číslo pomocí $j$. tak se otočí o 90 stupňů).
|
||||
**Taky z toho plyne, že:**
|
||||
$$
|
||||
\frac{u(t)}{i(t)} = j\omega L = Z_{L}
|
||||
$$
|
||||
**Induktor má čistě reaktanci a proud předchází napětí o 90 stupňů.**
|
||||
### Impedance kondenzátoru
|
||||
U kapacitoru na to můžeme jít stejně jako induktoru. Víme: $i(t) = C\cdot \frac{d}{dt}u(t)$
|
||||
$$
|
||||
i(t) = C \frac{d}{dt}(U_{max}e^{j\omega t}) = j\omega CU_{max}e^{j\omega t} = j\omega C u(t)
|
||||
$$
|
||||
Z toho plyne, že funkce napětí předchází proud o 90 stupňů v případě zapojení kondenzátoru. Upraveno na:
|
||||
$$
|
||||
\frac{i(t)}{u(t)} = j\omega C = \frac{1}{Z_{C}}
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\frac{u(t)}{i(t)} = \frac{1}{j\omega C} = Z_{C}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ještě to jde odvodit z rovnice $q(t) = C \cdot u(t)$.
|
||||
Zase jde vidět, že impedance kondenzátoru je ryze komplexní a fáze mezi napětí a proudem je 90 stupňů, zde ale naopak napětí předchází proud.
|
||||
|
||||
## Počty s impedancí.
|
||||
Impedance v obvodu lze normálně sčítat a odčítat stejně jako bychom sčítali a odčítali prvky s odporem. Každý prvek si můžeme představit jako krabičku, co má nějakou vlastní impedanci a postupně je sčítáme/odčítáme podle pravidel postupného zjednodušování obvodů s odpory.
|
||||
|
||||
$Z_{1} + Z_{2} = (R_{1} + R_{2}) + (X_{1} + X_{2})$. Ostatní operace jdou jednoduše algebraicky odvodit. (jupí tohle chce každý slyšet, ale psát v latexu je pomalé, a já jsem liný.)
|
||||
|
||||
Dále pak můžeme jednodušeji počítat pomocí tvaru $A \angle \varphi$, obecně platí:
|
||||
$$
|
||||
(A \angle a)(B \angle b) = AB \angle(a+b)
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\frac{A \angle a}{B \angle b} = \frac{A}{B} \angle (a-b)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Impedance a fáze
|
||||
S impedancí, jak šlo vidět o dovození impedance cívky a kondenzátoru souvisí fáze mezi $i(t)$ a $u(t)$. Jednoduchý vzoreček výpočtu je:
|
||||
$$
|
||||
\arctan\left( \frac{X}{R} \right)
|
||||
$$
|
||||
kde $X$ je reaktance a $R$ je rezistance.
|
||||
|
||||
### Další poznatky vlastností
|
||||
Když máme pouze CL obvody, můžeme si všimnout, že fáze je buď $\frac{\pi}{2}$ nebo $-\frac{\pi}{2}$
|
||||
|
||||
## Impedance a fázory, celý obvod!!
|
||||
Když známe fázory i impedanci, můžeme konečně najít obdobu vztahu Ohmova zákona pro harmonický ustálený stav a to:
|
||||
$$
|
||||
\hat{U} = Z \hat{I}
|
||||
$$neboli fázor napětí je impedanci krát fázoru proudu.
|
||||
|
||||
### Příklad
|
||||
Řekněme, že mám fázor proudu: $\hat{U} = 2 \angle 0$ a impedanci $Z = 4 + j10$
|
||||
$Z$ můžeme přepsat na $|Z| = \sqrt{ 4^2 + 10^2} = \sqrt{ 16 + 100 } = \sqrt{ 116 } = cca \frac{21}{2}$
|
||||
$\varphi_{Z} = \arctan\left( \frac{10}{4} \right) = cca 70$
|
||||
$Z = 10.5 \angle70$
|
||||
$\hat{U} = Z \hat{I} = (10.5 \angle 70)(2 \angle 0) = 21 \angle70$
|
||||
|
||||
**Teď máme všechno pro analýzu celých obvodů.** Můžeme používat standardní metody pro analýzu obvodů, akorát místo odporů a napětí máme impedance a fázory napětí. Platí standardní dělení proudu mezi cesty a standardní sériové dělení napětí mezi prvky.
|
||||
**Platí Kirchhoffovi zákony, obvodové rovnice, princip superpozice, etc. akorát s komplexními členy.**
|
||||
# Průměrné hodnoty a výkony
|
||||
Nyní nás bude zajímat, jak zjistit z těchto hodnot **výkon**. Víme, že výkon je $P = UI$.
|
||||
Jestli chceme, můžeme měřit tzv. **okamžitý výkon**, tedy přesný výkon v čase, který je:
|
||||
$$
|
||||
p(t) = u(t)i(t) = U_{max}I_{max}\cos(\omega t + \varphi_{u})\cos(\omega t+\varphi_{i})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Abychom se nemuseli trápit s okamžitým výkonem a jeho integrování existuje strategie, jak se tohle celé obejít a to je **najít průměrnou hodnotu proudu a napětí**. **Průměrná ale přesně být nemůže**, protože průměr sin/cos na periodě je 0, proto hledáme strategii, jak najít průměr absolutní hodnoty ze sinu/cosinu.
|
||||
|
||||
To je tzv. **RMS** (root mean square) neboli česky **střední hodnota**. A spočítá se jako
|
||||
$$I_{RMS} = \frac{I_{max}}{\sqrt{ 2 }},U_{RMS} = \frac{U_{max}}{\sqrt{ 2 }}$$
|
||||
To proto, protože průměrná hodnota $\cos^2(x)$ je $\frac{1}{2}$. Tedy průměrná hodnota $|\cos x|$ je $\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$.
|
||||
|
||||
## Výkony
|
||||
Máme vlastně 3 výkony, které nás zajímají. Máme reálnou složku výkonu (činný výkon), imaginární složku výkonu a jejich součet.
|
||||
|
||||
### Činný výkon
|
||||
**Máme činný výkon (reálnou složku výkonu)**, který bychom mohli [dostat](https://cs.wikipedia.org/wiki/Elektrick%C3%BD_v%C3%BDkon) z integrálu okamžitého výkonu na svoji periodě.
|
||||
|
||||
Výpočet je $P = U_{RMS}I_{RMS}\cos(\varphi)$, kde $\varphi$ je fázový posuv napětí vůči proudu. Mimochodem $\cos(\varphi)$ se říká účiník.
|
||||
|
||||
Tohle je složka, která reálně dělá normální práci v našem obvodu (svítí, hýbe motorem, etc.)
|
||||
|
||||
Jednotka jsou watty
|
||||
|
||||
### Jalový výkon
|
||||
Jalový výkon je imaginární část našeho výkonu a spočítáme ho jako
|
||||
$$
|
||||
Q = U_{RMS}I_{RMS}\sin(\varphi)
|
||||
$$ kde $\varphi$ je fázový posun mezin proudem a napětím.
|
||||
|
||||
V obvodu se jalový výkon přelívá tam a zpět mezi magnetickým polem cívek nebo elektrickým polem kondenzátoru a v obvodu nevykonává žádnou reálně využitelnou práci.
|
||||
|
||||
Jednota jsou VAR
|
||||
|
||||
### Zdánlivý výkon
|
||||
Zdánlivý výkon je kombinace jak jalového tak činného výkonu a spočítá se takto:
|
||||
$$
|
||||
S = U_{RMS}I_{RMS}
|
||||
$$
|
||||
Popřípadě můžu počítat i pomocí fázorů:
|
||||
$$
|
||||
S = \hat{U}\hat{I*}
|
||||
$$
|
||||
kde $\hat{I}*$ je komplexně družení fázor proudu. Tedy komplexně sdružené číslo má opačnou hodnotu komplexní části.
|
||||
$A* = (A + ja)* = (A - ja)$
|
||||
|
||||
jednotka jsou VA
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user