11 KiB
- neboli harmonický ustálený stav (SST - sinusoidal steady state)
Chyby: obráceně co co předchází, rovnice induktoru, vzorec impeance -> Z = R + jX, ne Z = R + X,
Narozdíl od stejnosměrného ustáleného stavu (SUS), kde teče pouze stejnosměrná složka proudu se napětí a proud v HUS periodicky mění. HUS obvod může být složen z různých prvků, jeho hlavní znak ale je, že frekvence zůstává konstantní (popř. úhlová rychlost).
Základně lze napětí a proud popsat takto:
u(t) = U_{max}\sin(\omega t + \varphi_{u})
i(t) = I_{max}\sin(\omega t + \varphi_{i})
kde u(t) a i(t) jsou funkce napětí a proudu prvku/obvodu, U_{max} a I_{max} jsou maximální hodnoty napětí a proudu. Natahují nám hodnoty \sin a \cos, protože základně mají hodnotu \pm1, \omega je úhlová rychlost, t je čas a \varphi_{u} a \varphi_{i} jsou hodnoty fáze, neboli posunutí goniometrických funkcí od počátku (doprava/doleva). Zásadní fakt v HUS obvodech je, že fáze mezi proudem a napětím nemusí být nulová - tedy proud se vůči napětí zpožďuje nebo naopak jde napřed.
Převodní vztah mezi úhlovou rychlostí, frekvencí a periodou:
\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \space f = \frac{1}{T}
Eulerova identita, Fázory
Myšlenka je taková, že si základní periodická změna proudu a napětí lze rozšířit ze základního vzorce o komplexní část.
u(t) = U_{max}\sin(\omega t + \varphi_{u}) = U_{max}\cos\left( \omega t + \varphi_{u} - \frac{\pi}{2} \right)
Zde převedeme sinus na cosinus pomocí \sin(x) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right). Dále budu psát cosinus bez \frac{\pi}{2}, kde je ale třeba dbát na to, že fáze není stejná u zápisu se sinem a cosinem (přesněji je rozdílná o \frac{\pi}{2}).
Takže prostě nyní pracujeme s:
u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u})
i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i})
protože se nám to víc hodí. (kde značím \varphi', aby bylo jasné, že to není stejná fáze jako u sin).
To teď můžeme přidat a komplexní část:
u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u}) + jU_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{u})
i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i}) + jI_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{i})
Eulerova identita a k čemu ji využijeme
Máme víc různých možností, jak zapsat komplexní číslo. Základní je algebraická tvar: K = A + jB, s kterých se jednoduše sčítá a odčítá. Pro zápis proudu a napětí jsme použili goniometrická tvar: K = |K|(\cos(x) + j\sin(x)) = |K|\cos(x) + j|K|\sin(x), který je zase vhodný pro jednoduché násobení a dělení, popř. mocnění.
Tento goniometrický tvar jsme použili právě pro zápis u(t) a i(t).
Dalšího tvaru můžeme dosáhnout pomocí Eulerovi identity:
e^{jx} = \cos(x) + j\sin(x)
Pokud pomocí této identity přepíšeme našeho hodnoty napětí a proudu dostaneme:
u(t) = U_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{u}) + jU_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{u}) = U_{max}e^{j(\omega t + \varphi'_{u})} = U_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{u}}
i(t) = I_{max}\cos(\omega t + \varphi'_{i}) + jI_{max}\sin(\omega t + \varphi'_{i}) = I_{max}e^{j(\omega t + \varphi'_{i})} = I_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{i}}
Eulerovský tvar má mimochodem výhodu ve snadné derivaci.
Co je to fázor?
Když teď máme tvar u(t) = U_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{u}} a tvar i(t) = I_{max}e^{j\omega t}e^{j \varphi'_{i}}. Můžeme si to kapánek zjednodušit a říct, že fázor je \hat{I} = I_{max}e^{j\varphi'_{i}} a \hat{U} = U_{max}e^{j\varphi'_{u}}. To nám zjednoduší rovnici na
u(t) = \hat{U}e^{j\omega t} $$
i(t) = \hat{I}e^{j\omega t}
**Co je teda ten fázor?** Je to pouze konstantní komplexní číslo o velikosti amplitudy hodnoty a úhlu o velikosti fáze hodnoty. Na zbytku nám po většinu času výpočtu nezáleží, protože v HUS mají všechny prvky stejné $e^{j\omega t}$. Můžeme také říct, že to je eulerovský přepis
$A\cos(\varphi) + jA\sin(\varphi) = Ae^{j\varphi} = \hat{A}$. Je to komplexní číslo o délce A a úhlu $\varphi$ od komplexní osy.
**Jiný způsob jak zapsat fázor je**: $A \angle \varphi$. např: $10 \angle 70$ (číslo o velikosti 10 a fázi 70 stupňů)
# Impedance a výpočet hodnot obvody s fázoru
V SUS obvodu šlo počítat prakticky vše pomocí ohmova zákona $U = RI$. Bohužel v HUS obvodech jednoduchý přepis $u(t) = R \cdot i(t)$ **neplatí!!** Místo toho potřebujeme zavést tzv. **impedanci** (značíme $Z$ měřeno v $\ohm$).
Z = R + X
**Impedance** $Z$ je komplexní číslo tvořené z reálné **rezistivity** $R$ ($\ohm$) a komplexní **reaktance** $X$ ($\ohm$). V obvodu máme 3 základní prvky, jejichž impedanci dokážeme vyvodit.
## Impedance rezistoru, kapacitoru a induktoru
### Impedance (rezistance) rezistoru
Rezistor má reaktanci ze všeho nejjednodušší a to $Z = R$. Jeho impedance je stejná jako odpor. Je ryze reálná a nijak neovlivňuje fázi.
### Impedance (reaktance) induktoru
Impedanci induktoru odvodíme ze základní rovnice $u(t) = L \cdot i(t)$.
u(t) = L \cdot \frac{d}{dt}i(t) = L \frac{d}{dt}(I_{max}e^{j\omega t}) = j\omega LI_{max}e^{j\omega t} = j\omega L i(t).
Z toho víme, že $u(t)$ je otočeno o 90 stupňů vůči $i(t)$, protože $i(t)$ je ryze komplexní násobek $u(t)$ (když vynásobím číslo pomocí $j$. tak se otočí o 90 stupňů).
**Taky z toho plyne, že:**
\frac{u(t)}{i(t)} = j\omega L = Z_{L}
**Induktor má čistě reaktanci a proud předchází napětí o 90 stupňů.**
### Impedance kondenzátoru
U kapacitoru na to můžeme jít stejně jako induktoru. Víme: $i(t) = C\cdot \frac{d}{dt}u(t)$
i(t) = C \frac{d}{dt}(U_{max}e^{j\omega t}) = j\omega CU_{max}e^{j\omega t} = j\omega C u(t)
Z toho plyne, že funkce napětí předchází proud o 90 stupňů v případě zapojení kondenzátoru. Upraveno na:
\frac{i(t)}{u(t)} = j\omega C = \frac{1}{Z_{C}}
\frac{u(t)}{i(t)} = \frac{1}{j\omega C} = Z_{C}
Ještě to jde odvodit z rovnice $q(t) = C \cdot u(t)$.
Zase jde vidět, že impedance kondenzátoru je ryze komplexní a fáze mezi napětí a proudem je 90 stupňů, zde ale naopak napětí předchází proud.
## Počty s impedancí.
Impedance v obvodu lze normálně sčítat a odčítat stejně jako bychom sčítali a odčítali prvky s odporem. Každý prvek si můžeme představit jako krabičku, co má nějakou vlastní impedanci a postupně je sčítáme/odčítáme podle pravidel postupného zjednodušování obvodů s odpory.
$Z_{1} + Z_{2} = (R_{1} + R_{2}) + (X_{1} + X_{2})$. Ostatní operace jdou jednoduše algebraicky odvodit. (jupí tohle chce každý slyšet, ale psát v latexu je pomalé, a já jsem liný.)
Dále pak můžeme jednodušeji počítat pomocí tvaru $A \angle \varphi$, obecně platí:
(A \angle a)(B \angle b) = AB \angle(a+b)
\frac{A \angle a}{B \angle b} = \frac{A}{B} \angle (a-b)
## Impedance a fáze
S impedancí, jak šlo vidět o dovození impedance cívky a kondenzátoru souvisí fáze mezi $i(t)$ a $u(t)$. Jednoduchý vzoreček výpočtu je:
\arctan\left( \frac{X}{R} \right)
kde $X$ je reaktance a $R$ je rezistance.
### Další poznatky vlastností
Když máme pouze CL obvody, můžeme si všimnout, že fáze je buď $\frac{\pi}{2}$ nebo $-\frac{\pi}{2}$
## Impedance a fázory, celý obvod!!
Když známe fázory i impedanci, můžeme konečně najít obdobu vztahu Ohmova zákona pro harmonický ustálený stav a to:
\hat{U} = Z \hat{I} $$neboli fázor napětí je impedanci krát fázoru proudu.
Příklad
Řekněme, že mám fázor proudu: \hat{U} = 2 \angle 0 a impedanci Z = 4 + j10
Z můžeme přepsat na |Z| = \sqrt{ 4^2 + 10^2} = \sqrt{ 16 + 100 } = \sqrt{ 116 } = cca \frac{21}{2}
\varphi_{Z} = \arctan\left( \frac{10}{4} \right) = cca 70
Z = 10.5 \angle70
\hat{U} = Z \hat{I} = (10.5 \angle 70)(2 \angle 0) = 21 \angle70
Teď máme všechno pro analýzu celých obvodů. Můžeme používat standardní metody pro analýzu obvodů, akorát místo odporů a napětí máme impedance a fázory napětí. Platí standardní dělení proudu mezi cesty a standardní sériové dělení napětí mezi prvky. Platí Kirchhoffovi zákony, obvodové rovnice, princip superpozice, etc. akorát s komplexními členy.
Průměrné hodnoty a výkony
Nyní nás bude zajímat, jak zjistit z těchto hodnot výkon. Víme, že výkon je P = UI.
Jestli chceme, můžeme měřit tzv. okamžitý výkon, tedy přesný výkon v čase, který je:
p(t) = u(t)i(t) = U_{max}I_{max}\cos(\omega t + \varphi_{u})\cos(\omega t+\varphi_{i})
Abychom se nemuseli trápit s okamžitým výkonem a jeho integrování existuje strategie, jak se tohle celé obejít a to je najít průměrnou hodnotu proudu a napětí. Průměrná ale přesně být nemůže, protože průměr sin/cos na periodě je 0, proto hledáme strategii, jak najít průměr absolutní hodnoty ze sinu/cosinu.
To je tzv. RMS (root mean square) neboli česky střední hodnota. A spočítá se jako
I_{RMS} = \frac{I_{max}}{\sqrt{ 2 }},U_{RMS} = \frac{U_{max}}{\sqrt{ 2 }}
To proto, protože průměrná hodnota \cos^2(x) je \frac{1}{2}. Tedy průměrná hodnota |\cos x| je \frac{1}{\sqrt{ 2 }}.
Výkony
Máme vlastně 3 výkony, které nás zajímají. Máme reálnou složku výkonu (činný výkon), imaginární složku výkonu a jejich součet.
Činný výkon
Máme činný výkon (reálnou složku výkonu), který bychom mohli dostat z integrálu okamžitého výkonu na svoji periodě.
Výpočet je P = U_{RMS}I_{RMS}\cos(\varphi), kde \varphi je fázový posuv napětí vůči proudu. Mimochodem \cos(\varphi) se říká účiník.
Tohle je složka, která reálně dělá normální práci v našem obvodu (svítí, hýbe motorem, etc.)
Jednotka jsou watty
Jalový výkon
Jalový výkon je imaginární část našeho výkonu a spočítáme ho jako
Q = U_{RMS}I_{RMS}\sin(\varphi)
$$ kde $\varphi$ je fázový posun mezin proudem a napětím.
V obvodu se jalový výkon přelívá tam a zpět mezi magnetickým polem cívek nebo elektrickým polem kondenzátoru a v obvodu nevykonává žádnou reálně využitelnou práci.
Jednota jsou VAR
### Zdánlivý výkon
Zdánlivý výkon je kombinace jak jalového tak činného výkonu a spočítá se takto:
S = U_{RMS}I_{RMS}
Popřípadě můžu počítat i pomocí fázorů:
S = \hat{U}\hat{I*}
kde $\hat{I}*$ je komplexně družení fázor proudu. Tedy komplexně sdružené číslo má opačnou hodnotu komplexní části.
$A* = (A + ja)* = (A - ja)$
jednotka jsou VA