gradinet, tecna rovina, parcialni derivace

1. týden.md

@@ -0,0 +1,64 @@
+# 1. hodina
+Rovnice o více proměnných
+
+- Funkce více proměnných
+
+**Děfinice (okolí)** : okolí více proměnných: Mějme $x \in R^n$ Množina  $U(x) = \{y \in R^n | ||x-y|| < d\}$ se nazývá okolí bodu x.
+
+**Termíny**: hranice, hraniční body, vnitřní body, hromadné body, isolované body
+
+TOTO NEJSOU DEFINICE
+
+**Hranice**: -> všechny hromadné body, co nejsou vnitřní? (**nemusí být součást M**) - znač, takovým divnám obráceným d.
+**Vnitřní body**: Všechny body, pro které existuje takové okolí, že v něm nejsou žádné body, které se neancházejí v množně M.
+**Hromadný bod**: je takový že v jakémkoli jeho okolí je nekonečné mnoho bodů z množiny M. (může být i hraničná bod, který **není** v množině M).
+**Isolovaný bod**: Je takový bod množiny M, že existuje jeho okolí takové, že v něm nejsou žádné body z množiny M.
+
+Př: M = (0,1) x (-1,1)
++ takovej ten divnej zápis: ({0} x <-1,1>) U ({1} x <-1,1>) U (<0,1> x {-1}) U (<0,1> x {1})
+
+Něco?
+isolovaný hromadný bod? -> neexistuje ne?
+
+# 2. hodina
+
+**Definice**: Množina $M \subset R^n$ se nazývá **otevřená**, pokud každý její bod je vnitřní. (nemá hraniční body -> to ale neznamená, že je nekonečná)
+
+Průnik M a hranice je prázdná množina.
+
+**Definice**: Množina $M \subset R^n$ se nazývá **uzavřená**, když $\partial M \subset M$ (hranice M je v množině M).
+
+Platí, že hranice M je stejná jako hranice jejího doplňku?
+Doplněk uzavřené M je otevřený a naopak?
+
+**Doplněk**: Je všechno to, co není množina -> tedy předchozí věty dávají smysl.
+
+**Věta 1**: Mějme interval $<a_{n}, b_{n}>$, kde $n \in N$ a $<a_{n+1}, b_{n+1}> \subset <a_{n}, b_{n}>$. Pak průnik všech množin, kde se $n$ se blíží k nekonečnu není prázdný.
+
+Pak také $a \leq inf \space B = b$? -> spíš teda pro $a$ je **suprenum** rostoucí omezené posloupnosti $a_{n}$ a $b$ je **infinumum** klesající omezené posloupnosti $b_{n}$ platí, že jejich rostou/klesají do bodu, kde se rovnají a to je právě to supremum/infinum a, b. Jde říct $a \leq b$.
+
+**Věta 2:** Každá nekonečná množina má hromadný bod. Je-li M uzavřená, hromadný bod patří do M.
+
+**Definice**: M se nazývá omezená, pokud existuje k > 0 tak, že $M \subset \space <-k, k>^n$.
+
+**Definice (NETŘEBA K TESTU)**: Řekneme, že $f$ má v bodě limitu L, pokud pro každé $\epsilon > 0$ existuje okolí $U(x_{0})$ tak, že platí pro $y \in U(x_{0} \ \{x_{0}\})$ je $|f(y) - L|<\epsilon$.
+
+**Pozn**: U funkcí více proměnných nemůžeme použít vychytávek limit funkcí jedné proměnné. Můžem ale využít například triku zápisu bodu pomocí polární souřadnice (zápis s $\rho$ a cosinem úhlu -  kde $\rho$ je délka k bodu z počátku a cosinus úhel přímky)
+
+Existence limity je hodně silné tvrzení. Ve většině případů tomu tak nebude.
+
+**Definice (spojitost)**: Řekneme, že funkce $f: M \to R, M \subset R^n$ je spojití v bodě $x_{n} \in M$, když je bod $x_{0}$ **isolovaný**, nebo pokud $f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0}, x\in M }f(x)$ (**má v bodě limitu**)
+
+# Cvičení
+
+- příklady z analytické geometrie
+- pozn: koeficienty roviny ve 3D jsou hodnoty normálového vektoru
+- dále pak rovnice kružnice, elipsy, hyperboly a paraboly
+- rovnost $x^2 + y^2 + z^2 = x$ mluví o obalu koule. Nerovnosit mluví o obsahu nebo o všem kolem koule.
+- množina lze zapsat pomocí více rovnic a vznikne pak třeba trojúhelník
+
+Pozn:
+- rovnice kružnice: $x^2 + y^2 = r^2$
+- rovnice elipsy: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
+- rovnice paraboly: $y = ax^2$, $x = ay^2$
+- rovnice hyperboly: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ nebo $$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$

Diferenciál a tečná rovina.md

@@ -22,8 +22,37 @@ Pokud chceme najít tečnou rovinu k bodu na funkci, můžeme jí vyjádřit pom
 $$
 z = f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(h) + \frac{\delta f}{\delta y}(k)
 $$
-Z rovnic $x = x_{0} + h$ a $y = y_{0} + k$ u diferenciálu můžme vyjádřit $h = (x-x_{0})$ a $k = (y -y_{0})$.
+Myšlenka je taková, že pokud se pohybujeme z bodu po součtu násobků dvou nezávislých vektorů, pohybujeme se po rovině. Pokud složíme naší rovinu z tečných přímek, dostaneme naší tečnou rovinu.
+
+Z rovnic $x = x_{0} + h$ a $y = y_{0} + k$ u diferenciálu můžeme vyjádřit $h = (x-x_{0})$ a $k = (y -y_{0})$.
 Tedy:
 $$
 \tau :f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(x-x_{0}) + \frac{\delta f}{\delta y}(y-y_{0}) - z
 $$
+Alternativní zápis pomocí gradientu je:
+$$
+\tau:g(x) = f(a) = \nabla f(a)(x-a)
+$$
+kde $\nabla f(a)$ je gradient, to platí protože: (je tam skalární součin)
+$$
+\nabla f(a)(x-a) = (f_{x},f_{y})\cdot(x_{0}-x,y_{0}-y) = f_{x}(x-x_{0}) + f_{y}(y-y_{0})
+$$, kde $f_{x} = \frac{\delta f}{\delta x}, f_{y} = \frac{\delta f}{\delta y}$, protože to je pouze jiný způsob zápisu.
+
+## Normála
+Víme, že pro rovinu platí, že její normálový vektor jsou koeficienty před jejími členy (x,y,z).
+Její normálový vektor $\vec{n}$ pro rovinu $\tau :f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(x-x_{0}) + \frac{\delta f}{\delta y}(y-y_{0}) - z$
+je:
+$$
+\vec{n} = \left( \frac{\delta f}{\delta x}, \frac{\delta f}{\delta y}, -1 \right)
+$$
+
+Rovnice normálové přímky parametricky pak je: (pro parametr $t \in R$)
+$$
+x = x_{0} + \frac{\delta f}{\delta x}(t)
+$$
+$$
+y = y_{0} + \frac{\delta f}{\delta y}(t)
+$$
+$$
+z = f(x_{0},y_{0}) - t
+$$

Gradient.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+Gradient je vektor, udává směr největšího růstu pro nějaký bod funkce.
+Spočítá se jako vektor parciálních derivací:
+$$
+grad f = \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y})
+$$
+
+Víme, že v tomto směru funkce nejvíce stoupá a ve směru opačném, tedy $-(gradf)$ funkce nejstrměji klesá.
+
+Velikost gradintu, tedy: $|\nabla f(x,y)|$ je velikost největší derivace bodu (tedy derivace se měru gradientu).
+
+# Jak využít gradient k zjednodušení derivací

Parciální derivace.md

@@ -34,7 +34,7 @@ $$
 $$
 
 Příklad v praxi: (isibalo)
-Nalezněte derivaci $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3xy$ v bodě a[1,2] a směru $\vec{h} = (-2,1)$.
+Nalezněte derivaci $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3xy$ v bodě $a[1,2]$ a směru $\vec{h} = (-2,1)$.
 $$
 \varphi(t) = f(a_{1} + th_{1}, a_{2 + th_{2}}) = f(1 + t(-2), 2 + t(1)) = f(1 -2t, 2 + t)
 $$