From 0aa8869c1f72e450621b3b70a18a825dcfecec9e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lugaricci Date: Sun, 8 Mar 2026 21:57:46 +0100 Subject: [PATCH] gradinet, tecna rovina, parcialni derivace --- 1. týden.md | 64 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ Diferenciál a tečná rovina.md | 31 ++++++++++++++++- Gradient.md | 11 ++++++ Parciální derivace.md | 2 +- Věty.md | 0 5 files changed, 106 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 1. týden.md create mode 100644 Gradient.md create mode 100644 Věty.md diff --git a/1. týden.md b/1. týden.md new file mode 100644 index 0000000..9ca4b94 --- /dev/null +++ b/1. týden.md @@ -0,0 +1,64 @@ +# 1. hodina +Rovnice o více proměnných + +- Funkce více proměnných + +**Děfinice (okolí)** : okolí více proměnných: Mějme $x \in R^n$ Množina $U(x) = \{y \in R^n | ||x-y|| < d\}$ se nazývá okolí bodu x. + +**Termíny**: hranice, hraniční body, vnitřní body, hromadné body, isolované body + +TOTO NEJSOU DEFINICE + +**Hranice**: -> všechny hromadné body, co nejsou vnitřní? (**nemusí být součást M**) - znač, takovým divnám obráceným d. +**Vnitřní body**: Všechny body, pro které existuje takové okolí, že v něm nejsou žádné body, které se neancházejí v množně M. +**Hromadný bod**: je takový že v jakémkoli jeho okolí je nekonečné mnoho bodů z množiny M. (může být i hraničná bod, který **není** v množině M). +**Isolovaný bod**: Je takový bod množiny M, že existuje jeho okolí takové, že v něm nejsou žádné body z množiny M. + +Př: M = (0,1) x (-1,1) ++ takovej ten divnej zápis: ({0} x <-1,1>) U ({1} x <-1,1>) U (<0,1> x {-1}) U (<0,1> x {1}) + +Něco? +isolovaný hromadný bod? -> neexistuje ne? + +# 2. hodina + +**Definice**: Množina $M \subset R^n$ se nazývá **otevřená**, pokud každý její bod je vnitřní. (nemá hraniční body -> to ale neznamená, že je nekonečná) + +Průnik M a hranice je prázdná množina. + +**Definice**: Množina $M \subset R^n$ se nazývá **uzavřená**, když $\partial M \subset M$ (hranice M je v množině M). + +Platí, že hranice M je stejná jako hranice jejího doplňku? +Doplněk uzavřené M je otevřený a naopak? + +**Doplněk**: Je všechno to, co není množina -> tedy předchozí věty dávají smysl. + +**Věta 1**: Mějme interval $$, kde $n \in N$ a $ \subset $. Pak průnik všech množin, kde se $n$ se blíží k nekonečnu není prázdný. + +Pak také $a \leq inf \space B = b$? -> spíš teda pro $a$ je **suprenum** rostoucí omezené posloupnosti $a_{n}$ a $b$ je **infinumum** klesající omezené posloupnosti $b_{n}$ platí, že jejich rostou/klesají do bodu, kde se rovnají a to je právě to supremum/infinum a, b. Jde říct $a \leq b$. + +**Věta 2:** Každá nekonečná množina má hromadný bod. Je-li M uzavřená, hromadný bod patří do M. + +**Definice**: M se nazývá omezená, pokud existuje k > 0 tak, že $M \subset \space <-k, k>^n$. + +**Definice (NETŘEBA K TESTU)**: Řekneme, že $f$ má v bodě limitu L, pokud pro každé $\epsilon > 0$ existuje okolí $U(x_{0})$ tak, že platí pro $y \in U(x_{0} \ \{x_{0}\})$ je $|f(y) - L|<\epsilon$. + +**Pozn**: U funkcí více proměnných nemůžeme použít vychytávek limit funkcí jedné proměnné. Můžem ale využít například triku zápisu bodu pomocí polární souřadnice (zápis s $\rho$ a cosinem úhlu - kde $\rho$ je délka k bodu z počátku a cosinus úhel přímky) + +Existence limity je hodně silné tvrzení. Ve většině případů tomu tak nebude. + +**Definice (spojitost)**: Řekneme, že funkce $f: M \to R, M \subset R^n$ je spojití v bodě $x_{n} \in M$, když je bod $x_{0}$ **isolovaný**, nebo pokud $f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0}, x\in M }f(x)$ (**má v bodě limitu**) + +# Cvičení + +- příklady z analytické geometrie +- pozn: koeficienty roviny ve 3D jsou hodnoty normálového vektoru +- dále pak rovnice kružnice, elipsy, hyperboly a paraboly +- rovnost $x^2 + y^2 + z^2 = x$ mluví o obalu koule. Nerovnosit mluví o obsahu nebo o všem kolem koule. +- množina lze zapsat pomocí více rovnic a vznikne pak třeba trojúhelník + +Pozn: +- rovnice kružnice: $x^2 + y^2 = r^2$ +- rovnice elipsy: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ +- rovnice paraboly: $y = ax^2$, $x = ay^2$ +- rovnice hyperboly: $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ nebo $$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$ \ No newline at end of file diff --git a/Diferenciál a tečná rovina.md b/Diferenciál a tečná rovina.md index c643145..f36c905 100644 --- a/Diferenciál a tečná rovina.md +++ b/Diferenciál a tečná rovina.md @@ -22,8 +22,37 @@ Pokud chceme najít tečnou rovinu k bodu na funkci, můžeme jí vyjádřit pom $$ z = f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(h) + \frac{\delta f}{\delta y}(k) $$ -Z rovnic $x = x_{0} + h$ a $y = y_{0} + k$ u diferenciálu můžme vyjádřit $h = (x-x_{0})$ a $k = (y -y_{0})$. +Myšlenka je taková, že pokud se pohybujeme z bodu po součtu násobků dvou nezávislých vektorů, pohybujeme se po rovině. Pokud složíme naší rovinu z tečných přímek, dostaneme naší tečnou rovinu. + +Z rovnic $x = x_{0} + h$ a $y = y_{0} + k$ u diferenciálu můžeme vyjádřit $h = (x-x_{0})$ a $k = (y -y_{0})$. Tedy: $$ \tau :f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(x-x_{0}) + \frac{\delta f}{\delta y}(y-y_{0}) - z $$ +Alternativní zápis pomocí gradientu je: +$$ +\tau:g(x) = f(a) = \nabla f(a)(x-a) +$$ +kde $\nabla f(a)$ je gradient, to platí protože: (je tam skalární součin) +$$ +\nabla f(a)(x-a) = (f_{x},f_{y})\cdot(x_{0}-x,y_{0}-y) = f_{x}(x-x_{0}) + f_{y}(y-y_{0}) +$$, kde $f_{x} = \frac{\delta f}{\delta x}, f_{y} = \frac{\delta f}{\delta y}$, protože to je pouze jiný způsob zápisu. + +## Normála +Víme, že pro rovinu platí, že její normálový vektor jsou koeficienty před jejími členy (x,y,z). +Její normálový vektor $\vec{n}$ pro rovinu $\tau :f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(x-x_{0}) + \frac{\delta f}{\delta y}(y-y_{0}) - z$ +je: +$$ +\vec{n} = \left( \frac{\delta f}{\delta x}, \frac{\delta f}{\delta y}, -1 \right) +$$ + +Rovnice normálové přímky parametricky pak je: (pro parametr $t \in R$) +$$ +x = x_{0} + \frac{\delta f}{\delta x}(t) +$$ +$$ +y = y_{0} + \frac{\delta f}{\delta y}(t) +$$ +$$ +z = f(x_{0},y_{0}) - t +$$ diff --git a/Gradient.md b/Gradient.md new file mode 100644 index 0000000..d1205e1 --- /dev/null +++ b/Gradient.md @@ -0,0 +1,11 @@ +Gradient je vektor, udává směr největšího růstu pro nějaký bod funkce. +Spočítá se jako vektor parciálních derivací: +$$ +grad f = \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) +$$ + +Víme, že v tomto směru funkce nejvíce stoupá a ve směru opačném, tedy $-(gradf)$ funkce nejstrměji klesá. + +Velikost gradintu, tedy: $|\nabla f(x,y)|$ je velikost největší derivace bodu (tedy derivace se měru gradientu). + +# Jak využít gradient k zjednodušení derivací diff --git a/Parciální derivace.md b/Parciální derivace.md index c477787..cb39d9f 100644 --- a/Parciální derivace.md +++ b/Parciální derivace.md @@ -34,7 +34,7 @@ $$ $$ Příklad v praxi: (isibalo) -Nalezněte derivaci $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3xy$ v bodě a[1,2] a směru $\vec{h} = (-2,1)$. +Nalezněte derivaci $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3xy$ v bodě $a[1,2]$ a směru $\vec{h} = (-2,1)$. $$ \varphi(t) = f(a_{1} + th_{1}, a_{2 + th_{2}}) = f(1 + t(-2), 2 + t(1)) = f(1 -2t, 2 + t) $$ diff --git a/Věty.md b/Věty.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29