3.3 KiB
Hlavní veličinou na kružnici je úhel. Od něj se pohybují všechny pohybové vlastnosti.
- úhel - znač.
\varphi - úhlová rychlost -
\omega = \frac{\delta \varphi}{\delta t}
- úhlové zrychlení -
\epsilon = \frac{\delta \omega}{\delta t}
Úhlové složky umíme převádět na lineární veličiny jako rychlost a zrychlení:
v = \omega r
a_{t} = \epsilon r
kde v je momentální rychlost otáčejícího se bodu a a_{t} je tečné zrychlení v bodě.
Dostředivé zrychlení: Jákékoli těleso, které se pohybuje po kružnici musí mít nějaké dostředivé zrychlení (popř. dostředivou sílu). Ta zajišťuje, že těleso neopustí svoji dráhu a nebude se pohybovat po přímočarém pohybu.
a_{c} = \frac{v^2}{r} =\frac{\omega^2r^2}{r} = \omega^2t
Odstředivé zrychlení: Zároveň na těleso působí odstředivé síla, která je stejně velká jako odstředivá, ale působí opačným směrem (pozor ale u gravitace, u gravitace odstředivé síly nepůsobí). Vzorec je stejný: a_{d} = \frac{v^2}{r} = \omega^2r
Momenty
Nyní se dostáváme do dynamiky. Hledáme ekvivalenty hybnosti a setrvačnosti u rotačního pohybu. To není tak jednoduché jako u přímočarého pohybu, jelikož je zde třeba počítat nejen s hmotností a rychlostí otáčení, ale třeba i s tvarovým gestem tělesa.
Máme 3 základní momenty, které jsou analogie klasických veličin a to moment síly - analogie klasické síly, moment setrvačnosti - analogie klasické hmotnosti a moment hybnosti - analogie klasické hybnosti.
Moment síly: M = r \times F
popř. pro sílu pod úhlem je to: M = r \times F \sin \alpha
To je ale pouhý převod z vektoru síly na rameno. Nás zajímá obdoba vzorce F = ma
M = I \epsilon
$$, kde $\epsilon$ je úhlové zrychlení a $I$ je moment setrvačnosti, který slouží jako obdoba hmotnosti.
**Moment setrvačnosti**: $I$ je výrazně zajímavější. Ten je nejen závislý na hmotnosti tělesa (jak by mohlo být patrné ze vztahu pro moment síly), ale i na tvarovém gestu tělesa.
Pro spojité těleso: $I = \int r^2dm$
Z toho lze usoudit, že hmota daleko od osy je o dost důležitější.
Momenty nějakých standardních těles:
- koule: $I = mr^2$
- plný disk: $I = \frac{1}{2}mr^2$
- obruč: $I = mr^2$
Středoškolsky: Moment setrvačnosti je: $I = kmr^2$, kde $k$ je měřitelná konstanta tvaru tělesa, která je závislá na jeho ose otáčení.
**Moment hybnosti**: To je ekvivalent klasické hybnosti. Pomocí momenty hybnosti zjišťujeme, jak obtížné je objekt roztočit. Pro klasickou fyziky platí: $p = mv$. Pro rotační ekvivalent:
L = I\omega
## Důležité vlastnosti:
**Zákon zachování momentu hybnosti**: Platí, že pokud měníme nějaké vlastnosti systéme, ale nebereme z něj jeho energii, pak jeho moment hybnosti musí zůstat a projeví se to jinak.
Například když zmenšíme poloměr otáčení, moment zůstane stejný a zvýší se rychlost (protože se sníží moment setrvačnosti). To je typický příklad s baletkou.
Lze zapsat jako:
\frac{\delta L}{\delta t} = M? $$ what?
Úhlová kinetická energie:
Analogicky klasické kinetická energie je: E = \frac{1}{2}mv^2. Úhlový ekvivalent je:
E = \frac{1}{2}I\omega^2