63 lines
3.3 KiB
Markdown
63 lines
3.3 KiB
Markdown
Hlavní veličinou na kružnici je úhel. Od něj se pohybují všechny pohybové vlastnosti.
|
|
- úhel - znač. $\varphi$
|
|
- úhlová rychlost -
|
|
$$ \omega = \frac{\delta \varphi}{\delta t} $$
|
|
- úhlové zrychlení -
|
|
$$ \epsilon = \frac{\delta \omega}{\delta t}$$
|
|
|
|
|
|
Úhlové složky umíme převádět na lineární veličiny jako rychlost a zrychlení:
|
|
$$
|
|
v = \omega r
|
|
$$
|
|
$$
|
|
a_{t} = \epsilon r
|
|
$$
|
|
kde $v$ je momentální rychlost otáčejícího se bodu a $a_{t}$ je tečné zrychlení v bodě.
|
|
|
|
**Dostředivé zrychlení**: Jákékoli těleso, které se pohybuje po kružnici musí mít nějaké dostředivé zrychlení (popř. dostředivou sílu). Ta zajišťuje, že těleso neopustí svoji dráhu a nebude se pohybovat po přímočarém pohybu.
|
|
|
|
$$
|
|
a_{c} = \frac{v^2}{r} =\frac{\omega^2r^2}{r} = \omega^2t
|
|
$$
|
|
**Odstředivé zrychlení**: Zároveň na těleso působí odstředivé síla, která je stejně velká jako odstředivá, ale působí opačným směrem (pozor ale u gravitace, u gravitace odstředivé síly nepůsobí). Vzorec je stejný: $a_{d} = \frac{v^2}{r} = \omega^2r$
|
|
|
|
# Momenty
|
|
Nyní se dostáváme do dynamiky. Hledáme ekvivalenty hybnosti a setrvačnosti u rotačního pohybu. To není tak jednoduché jako u přímočarého pohybu, jelikož je zde třeba počítat nejen s hmotností a rychlostí otáčení, ale třeba i s tvarovým gestem tělesa.
|
|
|
|
Máme 3 základní momenty, které jsou analogie klasických veličin a to **moment síly** - analogie klasické síly, **moment setrvačnosti** - analogie klasické hmotnosti a **moment hybnosti** - analogie klasické hybnosti.
|
|
|
|
**Moment síly**: $M = r \times F$
|
|
popř. pro sílu pod úhlem je to: $M = r \times F \sin \alpha$
|
|
To je ale pouhý převod z vektoru síly na rameno. Nás zajímá obdoba vzorce $F = ma$
|
|
$$
|
|
M = I \epsilon
|
|
$$, kde $\epsilon$ je úhlové zrychlení a $I$ je moment setrvačnosti, který slouží jako obdoba hmotnosti.
|
|
|
|
**Moment setrvačnosti**: $I$ je výrazně zajímavější. Ten je nejen závislý na hmotnosti tělesa (jak by mohlo být patrné ze vztahu pro moment síly), ale i na tvarovém gestu tělesa.
|
|
Pro spojité těleso: $I = \int r^2dm$
|
|
Z toho lze usoudit, že hmota daleko od osy je o dost důležitější.
|
|
Momenty nějakých standardních těles:
|
|
- koule: $I = mr^2$
|
|
- plný disk: $I = \frac{1}{2}mr^2$
|
|
- obruč: $I = mr^2$
|
|
Středoškolsky: Moment setrvačnosti je: $I = kmr^2$, kde $k$ je měřitelná konstanta tvaru tělesa, která je závislá na jeho ose otáčení.
|
|
|
|
**Moment hybnosti**: To je ekvivalent klasické hybnosti. Pomocí momenty hybnosti zjišťujeme, jak obtížné je objekt roztočit. Pro klasickou fyziky platí: $p = mv$. Pro rotační ekvivalent:
|
|
$$
|
|
L = I\omega
|
|
$$
|
|
## Důležité vlastnosti:
|
|
**Zákon zachování momentu hybnosti**: Platí, že pokud měníme nějaké vlastnosti systéme, ale nebereme z něj jeho energii, pak jeho moment hybnosti musí zůstat a projeví se to jinak.
|
|
Například když zmenšíme poloměr otáčení, moment zůstane stejný a zvýší se rychlost (protože se sníží moment setrvačnosti). To je typický příklad s baletkou.
|
|
Lze zapsat jako:
|
|
$$
|
|
\frac{\delta L}{\delta t} = M?
|
|
$$ what?
|
|
|
|
**Úhlová kinetická energie**:
|
|
Analogicky klasické kinetická energie je: $E = \frac{1}{2}mv^2$. Úhlový ekvivalent je:
|
|
$$
|
|
E = \frac{1}{2}I\omega^2
|
|
$$
|