413 lines
15 KiB
Markdown
413 lines
15 KiB
Markdown
# Fundamentální
|
||
### Napište základní jednotky SI, stručně popište způsob jejich zavedení a rozložte jednotku tesla na součin základních jednotek SI.
|
||
|
||
Jednotky SI:
|
||
**Je jich 7**
|
||
|
||
| Veličina | Jednotka | Symbol | Definice |
|
||
| --------- | ------------ | ------ | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
||
| Délka | **metr** | *m* | vzdálenost, kterou světlo ve vakuu urazí za přesně 1/299 792 458 sekundy |
|
||
| Čas | **sekunda** | *s* | čas, během kterého atom Cs-133 vykoná přesně 9 192 631 770 kmitů |
|
||
| Hmotnost | **kilogram** | *kg* | taková hmotnost, že Planckova konstanta h = přesně 6,626 07015 × 10⁻³⁴ J·s |
|
||
| Proud | **ampér** | *A* | |
|
||
| Teplota | **kelvin** | *K* | 1 K je taková teplota, že Boltzmannova konstanta k = přesně 1,380 649 × 10⁻²³ J/K |
|
||
| Množství | **mol** | *mol* | 1 mol obsahuje přesně 6,022 14076 × 10²³ elementárních entit |
|
||
| Svítivost | **kandela** | *cd* | 1 cd je svítivost zdroje, který vyzařuje monochromatické záření o frekvenci 540 × 10¹² Hz s výkonem 1/683 W ve stanoveném směru |
|
||
|
||
---
|
||
Zavedení:
|
||
|
||
Máme více způsobů zavedení:
|
||
|
||
1) **Přes fyzikální konstanty (od roku 2019)** - to znamená, že se vybera nějaká fyzikální konstanta a přiřadí se jí nějaká určená hodnota. Násobek tou hodnotou nebo podíl je pak nová jednotka SI - např: rychlost světla je c = 299 792 458 m/s
|
||
2) **Zavedení přes etalony** - hodnota zavedena dle nějakých předmětů, které tu hodnotu určují - tzv. etalony. Např. do roku 1983 byl metr definovaný platinovou tyčí v Paříži
|
||
|
||
---
|
||
Tesla:
|
||
Je jednotka magnetické indukce
|
||
|
||
**Z Lorenzovy síly:**
|
||
$$
|
||
F = q(v \times B)
|
||
$$
|
||
přepsáno:
|
||
$$
|
||
B = \frac{F}{qv}
|
||
$$
|
||
Jednotky:
|
||
$$
|
||
T = \frac{N\cdot s}{C\cdot m} = \frac{(kg \cdot m)\cdot s}{C \cdot m \cdot (s^2)} = \frac{kg}{C\cdot s} = \frac{kg}{(A\cdot s)\cdot s} = kg\cdot A^{-1}\cdot s^{-2}
|
||
$$
|
||
### Uveďte znění Newtonových pohybových zákonů a jejich odpovídající matematické vyjádření.
|
||
|
||
1) Těleso zůstává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno svůj pohybový stav změnit působením vnějších sil.
|
||
|
||
$$
|
||
\vec{F} = \vec{o} \to \vec{v} = konst.
|
||
$$
|
||
nebo asi také:
|
||
$$
|
||
\vec{F} \sim \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}
|
||
$$
|
||
|
||
2) Časová změna hybnosti tělesa je rovna síle, která na něj působí.
|
||
$$
|
||
\frac{\delta \vec{p}}{\delta t} = \vec{F}
|
||
$$
|
||
3) Jestliže dvě tělesa na sebe vzájemně působí silami, pak jsou tyto síly stejně velké, ale opačně orientované, leží na společné silové přímce a v každém okamžiku platí:
|
||
$$
|
||
F_{12} = -F_{21}
|
||
$$
|
||
---
|
||
shrnutí:
|
||
1) **klid a pohyb**
|
||
2) **hybnost a síla**
|
||
3) **opačná síla**
|
||
### Napište první a druhou větu impulzovou pro soustavu hmotných bodů.
|
||
1) věta mluví o bilanci sil v soustavě -> výslednice sil v soustavě hmotných bodů je rovna derivace celkové hybnosti soustavy.
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{d}{dt} \sum^n_{i=1} p_{i} = \frac{d}{dt} \sum^n_{i=1} m_{i}v_{i} = F_{vysl.}
|
||
$$
|
||
|
||
2) druhá věta impulsová mluví o celkovém momentu sil celé soustavy, víme, že moment síly je derivace momentu hybnosti za čas
|
||
$$
|
||
\frac{d}{dt}\sum^n_{i=1} L_{i} = M_{výsl.}
|
||
$$
|
||
### Uveďte znění Newtonova gravitačního zákona a Keplerových zákonů; doplňte o matematická vyjádření nebo náčrtky.
|
||
|
||
|
||
|
||
> [!Znění gravitačního zákona:]
|
||
> Dva hmotné body se přitahují silou, jejíž velikost je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná kvadrátu jejich vzdálenosti.
|
||
|
||
Vyjádřeno **skalárně**:
|
||
$$
|
||
F = G \frac{m_{1}m_{2}}{r^2}
|
||
$$
|
||
|
||
Vyjádřeno **vektorově** (na těleso 2 působením tělesa 1):
|
||
$$
|
||
F_{21} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{||\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}||^3} (\vec{r_{2}} -\vec{r_{1}})
|
||
$$
|
||
---
|
||
|
||
> [!První keplerův zákon:]
|
||
> Planety obíhají kolem Slunce po [eliptických](https://cs.wikipedia.org/wiki/Elipsa "Elipsa") [drahách](https://cs.wikipedia.org/wiki/Oběžná_dráha "Oběžná dráha") (přesněji trajektoriích), v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.
|
||
|
||
> [!Druhý keplerův zákon:]
|
||
> Obsahy ploch opsaných průvodičem planety (spojnice planety a Slunce) za stejný čas jsou stejně velké.
|
||
|
||
$$
|
||
w = \frac{\delta S}{\delta t} = \frac{L}{2m} = konst.
|
||
$$
|
||
kde L je moment hybnosti a m je hmotnost obíhajícího tělesa (která je obsažena i v L, takže se vyruší a nezáleží na ni)
|
||
|
||
Jak spočítat L obecně:
|
||
$$
|
||
L = m \sqrt{ GMa(1-e^2) }
|
||
$$
|
||
m - hmostnost obíhajícího objektu, G - gravitační konstanta a - velká poloosa, e - excentricita
|
||
$$
|
||
L = m r_{min}v_{max} = mr_{max}v_{min}
|
||
$$
|
||
tedy moment hybnosti v periheliu (nejmenší vzdálenost, největší rychlost) je rovna rychlosti v afeliu (největší vzdálenost, nejmenší hybnost).
|
||
|
||
kde $L$ je moment hybnosti soustavy a
|
||
> [!Třetí keplerův zákon:]
|
||
> Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin délek jejich hlavních poloos (středních vzdáleností těchto planet od Slunce).
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = konst.
|
||
$$
|
||
|
||
kde $T$ je perioda oběhu a $a$ je excentricita. $M$ je hmotnost obíhaného objektu.
|
||
### Napište Lagrangeovy rovnice 2. druhu (pro případ konzervativních sil).
|
||
$$
|
||
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
|
||
$$
|
||
|
||
Kde $L = T - U$ je lagrangián, $T$ je kinetická energie, $U$ je zobecněná energie a $q$ je zobecněná souřadnice.
|
||
### Napište tvary rovnice kontinuity jak pro tok tekutiny, tak pro elektrický náboj v diferenciálním i integrálním tvaru.
|
||
**Rovnice kontinuity pro tekutiny:**
|
||
$$
|
||
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot(\rho v)
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\iiint_{V} \frac{\partial p}{\partial t}\space dV = - \iint_{\partial V} (\rho \vec{v})\cdot dS
|
||
$$
|
||
---
|
||
**Rovnice kontinuity pro elektrický náboj:**
|
||
$$
|
||
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot j = 0
|
||
$$
|
||
kde $j = \rho \vec{v}$ je, $\rho$ je nábojová hustota
|
||
$$
|
||
I = -\frac{\partial q}{\partial t} = \iint_{\partial V}j\cdot dS = - \iiint_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t} \space dV
|
||
$$
|
||
|
||
Kde $J$ je hustota elektrického proudu.
|
||
### Uveďte postuláty speciální teorie relativity.
|
||
|
||
> [!První postulát]
|
||
> Všechny fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.
|
||
|
||
- de facto zobecnění Galileův zákon
|
||
|
||
> [!Druhý postulát]
|
||
> Rychlost světa ve vakuu je všech inerciálních vztažných soustavách stejná.
|
||
|
||
### Napište Coulombův zákon pro dva bodové náboje a pro silové působení náboje o hustotě ρ rozprostřeného v objemu V′ na bodový náboj q; doplňte vhodným náčrtkem.
|
||
**Pro dva bodové náboje:**
|
||
Coulombův zákon ve skalárním tvaru:
|
||
$$
|
||
F_{C} = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}
|
||
$$
|
||
|
||
Coulombův zákon ve vektorovém tvaru:
|
||
$$
|
||
F_{21} = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{||\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}||^3}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})
|
||
$$
|
||
---
|
||
**Pro distribuovaný náboj a bod:**
|
||
$$
|
||
F = \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \int_{V} \rho(\vec{r})dV
|
||
$$
|
||
### Napište Maxwellovy rovnice v diferenciálním a integrálním tvaru pro materiálové prostředí a vakuum.
|
||
**Legenda**:
|
||
|
||
E - > elektrická intenzita
|
||
D -> elektrická indukce
|
||
H -> magnetická intenzita
|
||
B -> magnetická indukce
|
||
|
||
---
|
||
**Diferenciální tvar:**
|
||
Gaussův zákon elektrostatiky:
|
||
$$
|
||
\nabla \cdot \vec{E} = 0
|
||
$$
|
||
Gaussův zákon magnetického pole (neexistence magnetických monopólů:
|
||
$$
|
||
\nabla \cdot \vec{B} = 0
|
||
$$
|
||
Faradayův zákon elektromagnetické indukce:
|
||
$$
|
||
\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}
|
||
$$
|
||
Ampérův-Maxwellův zákon celkového proudu:
|
||
$$
|
||
\nabla \times B = \epsilon_{0}\micro_{0} \space \frac{\partial E}{\partial t}
|
||
$$
|
||
---
|
||
**Integrální tvar**:
|
||
Gaussův zákon elektrostatiky:
|
||
$$
|
||
\iint_{\partial V} \vec{E}\cdot dS = 0
|
||
$$
|
||
Gaussův zákon magnetického pole (neexistence magnetických monopólů:
|
||
$$
|
||
\iint_{\partial V}\vec{B}\cdot dS = 0
|
||
$$
|
||
Faradayův zákon elektromagnetické indukce:
|
||
$$
|
||
\oint_{\partial S} \vec{E}\cdot dr = -\frac{d}{dt} \iint_{S}B\cdot dS
|
||
$$
|
||
Ampérův-Maxwellův zákon celkového proudu:
|
||
$$
|
||
\oint_{\partial S} \vec{B}\cdot dr = \iint_{S} \epsilon_{0}\micro_{0} \space\frac{\partial E}{\partial t}\cdot dS
|
||
$$
|
||
|
||
# Obecné
|
||
|
||
### Měření délky matematického kyvadla bylo zatíženo standardní nejistotou u(ℓ) a měření periody kmitů standardní nejistotou u(T). Odpovídající průměrné hodnoty veličina označíme jako ¯ℓ a ¯T . Určete vzorec pro kombinovanou standardní nejistotu gravitačního zrychlení g, jestliže všechny ostatní zdroje nejistot lze považovat za zanedbatelné.
|
||
|
||
## Pohyb po kružnici + (inerc. neinerc.)
|
||
### Definujte velikost úhlu v radiánech, doplňte vhodným náčrtkem.
|
||
|
||
Úhel je délka oblouku dělena poloměrem kružnice.
|
||
$$
|
||
\varphi [rad] = \frac{s}{r}
|
||
$$, kde s je délka oblouku a r je poloměr kružnice.
|
||
### Rozepište vektor zrychlení a pomocí jeho tečné a normálové složky. Pro obě uveďte vztahy.
|
||
$$
|
||
\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{\tau}) = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + \frac{d\vec{\tau}}{dt}v
|
||
$$
|
||
kde složka $$\frac{dv}{dt}\vec{\tau} = \vec{a_{t}}$$ vyjadřuje změnu rychlosti ve směru tečného vektoru (**je to tečné zrychlení** - mění rychlost)
|
||
a složka $$\frac{d\vec{\tau}}{dt}v = \vec{a_{n}}$$
|
||
vyjadřuje změnu tečny se stejnou rychlostí (**je to normálové zrychlení** - mění směr)
|
||
|
||
vzorec nahoře je rozepsání:
|
||
$$
|
||
\vec{v} = v\vec{\tau}
|
||
$$
|
||
kde v je velikost rychlosti a tau je tečný jednotkový vektor. Vzorec se dál rozepíše dle pravidla násobení v derivaci.
|
||
|
||
Lze to rozepsat ještě pomocí Frenetova rámce a vzorců do lepší podoby:
|
||
Protože
|
||
$$
|
||
\frac{ds}{dt} = v
|
||
$$
|
||
a
|
||
$$
|
||
\frac{d\vec{\tau}}{ds} = \kappa \vec{N} = \frac{1}{R}\vec{N}
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\frac{d\vec{\tau}}{dt}v = \left( \frac{d\vec{\tau}}{ds} \right) \left( \frac{ds}{dt} \right) v = (\kappa \vec{N})(v)v = \vec{N} \frac{v^2}{R}
|
||
$$
|
||
Tedy:
|
||
$$
|
||
\vec{a} = \vec{a_{t}} + \vec{a_{n}} = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + \frac{v^2}{R} \vec{N}
|
||
$$
|
||
### Pro případ rovnoměrného pohybu po kružnici napište vztahy mezi úhlovou rychlostí, periodou a frekvencí.
|
||
$$
|
||
f =\frac{1}{T}
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\omega = 2\pi f = \frac{2\pi (rad)}{T}
|
||
$$
|
||
proč? úhlová rychlost říká, kolikrát za čas oběhne pohyb celý kruh. Protože celý kruh je $2\pi rad$ a $\frac{1}{T}$ říká "jedno otočení, za T sekund", tak pro úhlovou rychlost v radiánech (a ne jednotkách otočení) musíme vynásobit $\frac{1}{T}$ počtem radiánů v otočení (což je $2\pi$).
|
||
|
||
Damn, do toho jsem se nějak zamotal.
|
||
|
||
### Za jakých podmínek působí na hmotný bod v neinerciální vztažné soustavě Coriolisova síla?
|
||
|
||
Corlissova síla vzniká, když se těleso pohybuje nějakou rychlostí od středu vlastní soustavy a soustava rotuje.
|
||
|
||
Závisí na rychlosti bodu vůči ose otáčení a na úhlové rychlosti soustavy.
|
||
|
||
$$
|
||
F_{cor} = 2\omega \times v'
|
||
$$
|
||
|
||
## Síla práce dynamika?
|
||
### Definujte práci síly F vykonanou po křivce C nejobecnějším způsobem.
|
||
$$
|
||
W = \int_{c}F\cdot d\vec{r}
|
||
$$
|
||
### Definujte veličinu okamžitý výkon a uveďte její souvislost se silou působící na pohybující se hmotný bod.
|
||
$$
|
||
P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}
|
||
$$
|
||
### Pomocí jaké operace se z potenciální energie obdrží konzervativní síla?
|
||
$$
|
||
\vec{F} = -\nabla U
|
||
$$
|
||
### Uveďte alespoň jednu z vlastností nekonzervativní síly a nějaký její příklad.
|
||
**Vykoná práce závisí na dráze.** (a ne pouze na počáteční a konečné poloze jako u konzervativních sil).
|
||
Třecí síla je třeba nekonzervativní síla.
|
||
|
||
## Analytická mechanika
|
||
### Definujte pojem cyklická souřadnice, definujte zobecněnou hybnost a uveďte, co tyto dva pojmy spojuje.
|
||
### Napište Hamiltony kanonické rovnice.
|
||
## Oscilace
|
||
### Uveďte vzorce pro vratnou sílu pružnosti, její potenciální energii a vztah, který je spojuje.
|
||
$$
|
||
\vec{F} = -kx
|
||
$$
|
||
$$
|
||
U = \frac{1}{2}kx^2
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\vec{F} = -\nabla U
|
||
$$
|
||
### Napište pohybovou rovnici netlumeného lineárního harmonického oscilátoru a některý z možných tvarů jejího řešení
|
||
|
||
$$
|
||
F = -kx
|
||
$$
|
||
$$
|
||
m\ddot{x} + kx = 0
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0
|
||
$$
|
||
**Ta poslední je to co je pohybová rovnice:**
|
||
$$
|
||
\ddot{x} + \omega^2x = 0
|
||
$$
|
||
---
|
||
Tvary:
|
||
$$
|
||
A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = x
|
||
$$
|
||
$$
|
||
A\sin(\omega t + \varphi_{0}) = 0
|
||
$$
|
||
## Mechanika tuhého tělesa
|
||
### Uveďte definiční vztahy polohy hmotného středu tuhého tělesa a momentu setrvačnosti tuhého tělesa.
|
||
Moment setrvačnosti:
|
||
$$
|
||
I = \int_{V}r_{\perp}^2\rho(\vec{r})\space dV
|
||
$$
|
||
Střed hmotného tělesa:
|
||
$$
|
||
\vec{r_{T}} = \frac{\int_{V}\vec{r}\rho(\vec{r})\space dV}{\int_{V}\rho(\vec{r})\space dV} = \frac{1}{M} \int_{V}\vec{r} \space dm
|
||
$$
|
||
### Napište Konigovu větu pro pohyb tuhého tělesa (rotaci uvažujte pouze vzhledem jedné ose).
|
||
Konigova věta mluví o kinetické energii tělesa, které je jak pohybu přímočarém, tak v pohybu rotačním.
|
||
|
||
$$
|
||
T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2
|
||
$$
|
||
|
||
$m$ je celkové hmotnost tělesa, $v$ je rychlost těžiště, $I$ je moment setrvačnosti, $\omega$ je úhlová rychlost
|
||
### Napište Steinerovu větu a doplňte vhodným obrázkem.
|
||
|
||
$$
|
||
I_{celk} = I_{T} + md^2
|
||
$$
|
||
kde $I_{celk}$ je celkový moment setrvačnosti tělesa, $I_{T}$ je moment setrvačnosti tělese osou, která prochází těžištěm, $d$ je vzdálenost od těžiště
|
||
## STR
|
||
### Uveďte vztahy Lorentzovy transformace.
|
||
$$
|
||
x' = \gamma(x - Vt)
|
||
$$
|
||
$$
|
||
t' = \gamma\left( t - \frac{Vx}{c^2} \right)
|
||
$$
|
||
$$
|
||
y = y'
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\gamma = \sqrt{ \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} }
|
||
$$
|
||
|
||
Kde S je klidová inerciální soustava. A S' je pohybující se inerciální soustava.
|
||
### Napište vztah pro Lorentzův faktor a nakreslete graf jeho vývoje jako funkci vzájemné rychlosti dvou inerciálních soustav.
|
||
$$
|
||
\gamma = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} }}
|
||
$$
|
||
Pro v = 0 graf začíná na hodnotě 1. V hodnotě v = c se jmenovatel rovná nule a graf se blíží zleva k nekonečnu.
|
||
### Slovně popište jevy kontrakce délek a dilatace času. Doplňte příslušnými matematickými vztahy.
|
||
|
||
Pro pozorovatele se zdá, že pohybující se objekt má menší rozměry ve směru osy pohybu. Tomu se říká kontrakce délek.
|
||
$$
|
||
L = \frac{L_{0}}{\gamma}
|
||
$$
|
||
|
||
Pozorovateli se zdá, že pohybující se události utíkají pomaleji. Tedy na zemi uběhne víc času, než v pozorované pohybující se soustavě.
|
||
|
||
$$
|
||
t = \gamma t_{0}
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
## Mechanika tekutin
|
||
### Napište Gaussův-Ostrogradského teorém a vztah pro výpočet divergence v kartézských souřadnicích.
|
||
**Gauss-Ostrgradsky:**
|
||
$$
|
||
\iiint_{V} (\nabla \cdot \vec{F})\space dV = \iint_{\partial V} \vec{F}\cdot d\vec{S}
|
||
$$
|
||
**Divergence**:
|
||
$$
|
||
div(\vec{F}) = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial\vec{F_{x}}}{\partial x} + \frac{\partial\vec{F_{y}}}{\partial y} + \frac{\partial\vec{F_{z}}}{\partial z}
|
||
$$
|
||
### Uveďte tvar Bernoulliho rovnice pro (kvazi)-jednodimenzionální stacionární proudění nestlačitelné tekutiny
|
||
$$
|
||
\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh + p = konst.
|
||
$$
|
||
kde $\rho$ je hustota kapaliny (nestlačitelná - nemění se), $v$ je rychlost prouděnií, $g$ je tíhové zrychlení, $h$ je výška, $p$ je tlak
|
||
|
||
## Elekto peklo
|
||
|