pridej eintoph vseho mozneho

Frenetův rámec.md

@@ -0,0 +1,62 @@
+Odbočka. 
+
+Pohyb po křivce se dá zapsat jako:
+$$
+r(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\ z(t)\end{pmatrix}
+$$
+
+Pohyb křivce můžeme ale také popsat pomocí tří navzájem kolmých.
+1) tečný vektor -> ukazuje ve směru pohybu
+2) normálový vektor -> ukazuje do středu pomyslné rovnice
+3) binominální vektor -> je kolmý na plochu otáčení.
+**Všechny jsou jednotkové.**
+
+Na to, abychom to pochopili, musíme nejprve nějak vstřebat fakt, že si můžeme na křivce v každém bodě představit, že se vlastně pohybujeme po kružnici (směrově). Tahle kružnice má jakýsi poloměr $R$. Místo přímo poloměru používáme tzv. **zakřivení** $\kappa = \frac{1}{R}$.
+
+Tečný vektor:
+$$
+\vec{T}(t) = \frac{\vec{\dot{r}}(t)}{||\vec{\dot{r}}(t)||}
+$$
+Normálový vektor:
+$$
+\vec{N}(t) = \frac{\vec{\dot{T}}(t)}{||\vec{\dot{T}}(t)||}
+$$
+Binominální vektor:
+$$
+\vec{B}(t) = \vec{T}(t) \vec{\times}N(t)
+$$
+
+Pro popis pohybu po křivce existuje sada Frenet–Serret vztahů:
+
+$$
+\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa \vec{N}
+$$
+Doslova rozdíl vektorů dT - tedy když se nepatrně posunu a koukám se, kam ukazuje tečný směr křivky - lépe řečeno [^1]rozdíl špiček vektorů - tak je ve směru normálového vektoru (co ukazuje na střed) v posunutém bodě a velikost tohoto rozdílu je **zakřivení**.
+
+$$
+\frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa \vec{T} + \tau \vec{B}
+$$
+
+Rozdíl normálového vektoru je roven složce je roven složce $-\kappa T$, která popisuje o pohybu na ploše. Změna mezi normálovými vektoru (od starému k novému) je rovná opačnému směru tečného vektoru v druhém bodě (v tom kam se pohnu) násobeném zakřivením.
+Zde ale také počítáme s možností pohybu mimo plochu (ve 3D). Takže tam je i složka $\tau B$ s tzv. **torzí**, která popisuje právě pohyb, kdy se vektor kolmý na plochu mění.
+
+$$
+\frac{d\vec{B}}{ds} = -\tau \vec{N}
+$$
+
+
+**Zakřivení a Torze**:
+
+
+$$
+\kappa = \frac{\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)}{||\dot{r}(t)||^3}
+$$
+$$
+\tau = \frac{(\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t))\cdot \dddot{r}(t)}{||\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)||^2}
+$$
+kde:
+$$
+\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)
+$$
+je normála na oskulační rovinu - co to je? Nepředstavitelný koncept roviny, která nejlépe doléha na nějakou jinou rovinu - nevím :')
+[^1]: za tenhle termín mi pls neutrhněte hlavu