zakladni poznamky z kinematiky

Fyzikální měření výtah.md

@@ -0,0 +1,129 @@
+- budeme měřit **chyby měření**, protože nemáme přesné metody měření
+- chyba měření = | naměřená hodnota - pravá hodnota |
+- existuje chyba **systematická** a **chyba náhodná**
+
+## Chyba náhodná
+je taková chyba, která vzniká kontinuální změnou podmínek při měření (tedy, když 2x naměřím stejnou věc, dostanu trochu jiný výsledek). Vniká třeba elektromagnetickým rušením, otřesy, pohybem vzduchu, špatnými smysly experimentátory (nedokáže přesně určit třeba hodnotu na škále (pravítku)). Řešit to můžeme třeba uděláním více měření a jejich aritmetickým průměrem. Zde nám pomáhá zákon velkých čísel.
+
+## Chyba systematická
+To je chyba způsobená konstantní nedokonalostí měřícího procesu. Zatímco chyba náhodná se může/nemusí projevit, chyba systematická zůstává stejná. Může to být třeba nepřesnost měřícího přístroje, nedokonalá kalibrace, e.t.c.
+
+Př: při vážení objektu s malou hustotou zapomene započítat vztlakovou sílu. Při měření napětí na zdroji zapomene spočítat vliv nezanedbatelného poměru vnitřního odporu zdroje a vnitřního odporu voltmetru...
+
+## Jak zacházet se systematickou chybou
+Hodnota i-tého měření $x_{i}$ je
+$$
+x_{i} = x_{s} + \epsilon_{1}
+$$, kde $x_{s}$ je skutečná hodnota a $\epsilon_{i}$ je chyba i-tého měření.
+
+### Průměrování
+Součet měření a průměr měření ->
+$$
+\sum_{i}^N x_{i} = \sum_{i}^N (x_{s} + \epsilon_{i}) = Nx_{s}\sum_{i}^N \epsilon_{i} \to \frac{1}{N}\sum_{i}^N x_{i} = x_{s} + \frac{1}{N}\sum_{i}^N \epsilon_{i}
+$$
+A my vzhledem k náhodnosti chyby očekáváme, že se limitní součet nekonečna chyb blíží k nule (vzhledem k zákonu velkým číslem) stejně, jako když se při nekonečno hodech mincí blíží šance k 50% na stranu (v realitě nemusí, ale krajně nepravděpodobné ani nepopisuje jak moc nepravděpodobné by to bylo).
+$$
+\lim_{ N \to \infty } \frac{1}{N}\sum_{i}^N \epsilon_{i} = 0
+$$ dosadíme do $\frac{1}{N}\sum_{i}^N x_{i} = x_{s} + \frac{1}{N}\sum_{i}^N \epsilon_{i}$
+$$
+\lim_{ N \to \infty } \frac{1}{N}\sum_{i}^N x_{i} = x_{s}
+$$
+My nemůžeme udělat nekonečné měření, ale závěr je, že **čím více měření uděláme, tím víc se jejich průměr bude blížit k opravdové hodnotě.**
+
+Tento vztah lze nalézt i z metody nejmenších čtverců, ale myslím si, že princip je docela jednoduchý. (tbh, to tu zbytečně vysvětluju)
+
+
+### Směrodatná odchylka
+Víme, že čím dál jsou naměřené hodnoty od pravé hodnoty, tím méně přesné měření je. **Když ale chceme zjistit jak velká je taková chyba, nelze to dělat průměrem**, jelikož záporné odchylky vyváží kladné, tedy průměr těchto hodnot se blíží k nule.
+
+To lze řešit jako sčítáním absolutní hodnoty, ale praktičtější je sčítat druhou mocninu odchylek (protože s absolutní hodnotou se nahovno pracuje).
+
+**Výpočet tzv. výberového rozptylu**:
+$$
+s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i}^N(x_{i}-\overline{x})^2
+$$
+**Výpočet směrodatné odchylky**:
+$$
+s = \sqrt{ \frac{1}{N-1} \sum_{i}^N(x_{i}-\overline{x})^2 }
+$$
+Pozn: Proč $\frac{1}{N-1}$? Údajně proto, protože nám stačí pouze $N-1$ hodnot, abychom znali všechny potřebné informace k odchylce. To proto, protože $\sum \nabla_{a} = 0$. Tedy poslední N-tá hodnota se dá dopočítat z ostatních.
+
+## Hustota pravděpodobnosti
+Hustota pravděpodobnosti je funkce, jejíž plocha reprezentuje pravděpodobnost výsledku na nějakém intervalu.
+To znamená, že veškerá plocha pod funkcí má obsah jedna (tedy 100%) a my jsme schopní integrálem mezi dvěma body této funkce zjistit, jaká je šance nějakého intervalu. **Je ale dobré vědět, že šance dosáhnout nějakého konkrétního bodu je nulová.**
+
+platí tedy:
+$$
+P(x_{1} \leq x \leq x_{2} ) = \int_{x_{1}}^{x_{2}}f_{x}(u)du
+$$ Ta **hustota pravděpodobnosi je v tomto případě $f_{x}$**.
+$$
+\int_{-\infty}^{\infty}f_{x}(u)du = 1 = 100\% 
+$$
+Kde $u$ je naše veličina, kterou takto popisujeme.
+
+Dále máme **střední hodnotu**, tedy **průměr**. Kdybychom experiment opakovali nekonečněkrát, dostaneme průměrně tento výsledek:
+$$
+\micro = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}uf_{x}(u)du
+$$
+A pak máme variabilitu, což je **kvadrát průměrné odchylky od průměru**.
+$$
+\sigma^2 = Var[X] = \int_{-\infty}^{\infty}( u - \micro )^2f_{x}(u)du
+$$
+A odmocnina variability je směrodatná odchylka:
+$$
+\sigma = \sqrt{ Var[X] } = \sqrt{ E[(u-\micro)^2] }
+$$
+### Rovnoměrné rozdělení
+Je taková funkce hustoty pravděpodobnosti, která je konstantní a platí, že na jakémkoli intervalu <a,b> má konstantní hodnotu (a to docela přesně $\frac{1}{b-a}$) a jinde je rovna nule.
+
+Plocha funkce vypadá jako obdélník. Její hodnota musí být v $<a,b>$ rovna $h = \frac{1}{b-a}$, jelikož délka tohoto intervalu je $d =b-a$ a platí, že $h\cdot d = (b-1)\cdot \frac{1}{b-a} = 1 = 100\%$.
+
+Střední hodnota je prostřední hodnota intervalu a to $\micro = E[X] = \frac{a+b}{2}$.
+Rozptyl je:
+$$
+\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (u-\micro)^2f_{x}(u)du = \frac{(b-a)^2}{12}
+$$
+Tedy směrodatná odchylka je (kde $\nabla$ je šířka intervalu):
+$$
+\sigma = \frac{b-a}{\sqrt{ 12 }} = \frac{\nabla}{\sqrt{ 12 }}
+$$ ale pro rovnoměrnou distribuce to většinou značíme polovinou intervalu
+tedy:$$
+\sigma = \frac{\nabla'}{\sqrt{ 3 }} 
+$$
+
+### Normálové rozdělení
+# Nejistoty měření
+V realitě nikdy nemůžeme najít opravdovou hodnotu, tedy postupujeme podle:
+výsledek měření = odhad skutečné hodnoty +- nejistota měření.
+
+Existují 2 metody a to metody typu A a metoda typu B (ano vážně se tomu v metrologii tak říká...)
+
+## Metoda typu A
+V kostce mám $M$ naměřených hodnot a najdu:
+- průměr
+- směrodatnou odchylku
+
+a z toho určím nejistotu měření.
+Je to čistě statistická metoda.
+**Průměr** je jednoduchý a to prostě:
+$$
+\overline x =\frac{1}{M} \sum_{i}^{M} x_{i}
+$$
+A **směrodatná odchylka** (standardní chyba) je:
+$$
+s = \sqrt{ \frac{1}{M}\sum_{i}^M(x_{i} - \overline x)^2 }
+$$
+Průměr sám o sobě ale není přesný a je třeba spočítat i **standardní chybu průměru.** -> což je ta chyba, co vlastně hledáme
+$$
+\overline s = \frac{s}{\sqrt{ N }}
+$$
+## Metoda typu B
+Tady 
+
+# Prezentace výsledků
+
+# Příklady
+
+# Metoda nejmenších čtverců
+
+# Dodatek

Kinematika.md

@@ -0,0 +1,97 @@
+# Přímočarý pohyb
+$v(t) = \frac{dx}{dt}$
+$a(t) = \frac{dv}{dt}$
+
+pokud $a = 0$, pak $v = konst.$ -> $x(t) = x_{0} + vt$. Pak je to středoškolský rovnoměrný pohyb.
+
+Jinak pro nějakou funkci $a(t)$ je rychlosti integrál $\int a(t)dt =\int x''(t)dt =  a(t)t + C$
+Pro polohu:
+$$
+\int''a(t)dt = \int a(t)t + v_{0} = \frac{1}{2}a(t)t^2 +v_{0}t + x_{0}
+$$
+
+# Pohyb po kružnici
+- zde se pohybuje v úhlech. Místo vzdálenosti máme úhel $\varphi$.
+- Máme **úhlovou rychlost**, což je $\frac{\varphi}{t}$
+
+Platí: $$\omega(t) = \frac{\delta \varphi}{\delta t}$$
+- Máme **úhlové zrychlení** epsilon
+$$
+\epsilon (t)= \frac{\delta \omega}{\delta t}
+$$
+
+Z druhé strany pro integrály platí:
+$$
+\int \epsilon (t) dt= \epsilon(t)t + \omega_{0}
+$$
+
+$$
+\int'' \epsilon (t) dt=\frac{1}{2}\epsilon(t)t^2 + \omega_{0}t + \varphi_{0}
+$$
+
+Speciální případ kdy $\epsilon = 0$, $\omega = konst.$ -> $\varphi(t) = \omega t + \varphi_{0}$.
+
+**Rychlost v bodě je** $v = \omega*R$, obecně je to ale vektorový součin:
+$$
+v = \omega \times r 
+$$, kde v je vektor rychlosti, omega je vektor úhlové rychlosti a r je polohový vektor (ukazuje od středu na kružnici)
+Dostředivé zrychlené -> to, co udržuje těleso v pohybu po kružnici
+$$
+a_{d} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R
+$$
+
+## Parametrická verze pohybu po kružnici
+Lze říct, že úhel, je úhlová rychlost krát čas
+$$
+\varphi(t) = \omega t
+$$ Pak lze rozdělit každou složku pohybu pomocí parametru úhlu na:
+$$
+x(t) = R\cos(\omega t)
+$$
+$$
+y(t) = R \sin(\omega t)
+$$
+
+Když zderivujeme, dostaneme **rychlost**:
+$$
+v_{x}(t) = \frac{\delta x}{\delta t} = -R\sin(\omega t)\omega
+
+$$
+$$
+v_{y}(t) = \frac{\delta y}{\delta t} = R\cos(\omega t)\omega
+$$
+Takto vlastně můžeme spočítat vektor rychlosti...
+Samozřejmě můžeme pokračovat na zrychlení:
+$$
+a_{x}(t) = \frac{\delta v_{x}(t)}{\delta t} = -R\cos(\omega t)\omega^2
+
+$$
+$$
+a_{y}(t) = \frac{\delta v_{y}(t)}{\delta t} = -R\sin(\omega t)\omega^2
+$$
+Velikost rychlosti můžu spočítat skalaráním součinem nebo pomocí pythagorovy věty:
+$|v| = \sqrt{[R\omega]^2\sin^2(\omega t) + [R\omega]^2\cos^2(\omega t) } = \sqrt{R^2\omega^2} = R\omega$, protože $\sin^2 + \cos^2 = 1$. Z toho vychází vzorec $v = R\omega$.
+
+Podobně se zrychlením:
+$|a| = \sqrt{ [-R\omega^2]^2\cos^2(\omega t) + [-R\omega^2]^2\sin^(\omega t) } = \sqrt{ R^2\omega^4 }=R\omega^2 = \frac{v^2}{R}$
+Zároveň platí, že $a = -R\omega^2$.
+**To znamená, že zrychlení je záporný násobek polohového vektoru!**
+
+Pokud se mění i velikost rychlosti, rozkládáme zrychlení na 2 složky:
+- tečné (mění velikost rychlosti)
+- normálové (mění směr)
+# Pohyb po křivce
+
+Rozdělíme si pohyb v 3D prostoru do vektoru:
+$$r(t) = (x(t),y(t),z(z))$$
+$$v(t) = \frac{\delta r}{\delta t} =(\frac{\delta x}{\delta t}, \frac{\delta y}{\delta t}, \frac{\delta z}{\delta t})$$
+$$
+a(t) = \frac{\delta v}{\delta t}
+$$
+
+**[Frenetův rámec](https://cs.frwiki.wiki/wiki/Rep%C3%A8re_de_Frenet)**: rozdělení složek na:
+- tečnou složku: $a_{t} = \frac{\delta v}{\delta t}$, která mění pouze rychlost
+- normálovou složku $a_{n} = v^2\rho$, která mění pouze směr
+
+- $\rho$ je poloměr křivosti $k$, trajektorie : poloměr kruhu, který nejlépe odpovídá kružnici v bodě (hádám jejímu zrychlení v bodě). 
+

Pohyb po kružnici (a hybnost).md

@@ -0,0 +1,62 @@
+Hlavní veličinou na kružnici je úhel. Od něj se pohybují všechny pohybové vlastnosti.
+- úhel  - znač. $\varphi$
+- úhlová rychlost -
+$$ \omega = \frac{\delta \varphi}{\delta t} $$
+- úhlové zrychlení -
+ $$ \epsilon = \frac{\delta \omega}{\delta t}$$
+
+
+Úhlové složky umíme převádět na lineární veličiny jako rychlost a zrychlení:
+$$
+v = \omega r 
+$$
+$$
+a_{t} = \epsilon r
+$$
+kde $v$ je momentální rychlost otáčejícího se bodu a $a_{t}$ je tečné zrychlení v bodě.
+
+**Dostředivé zrychlení**: Jákékoli těleso, které se pohybuje po kružnici musí mít nějaké dostředivé zrychlení (popř. dostředivou sílu). Ta zajišťuje, že těleso neopustí svoji dráhu a nebude se pohybovat po přímočarém pohybu.
+
+$$
+a_{c} = \frac{v^2}{r} =\frac{\omega^2r^2}{r} = \omega^2t
+$$
+**Odstředivé zrychlení**: Zároveň na těleso působí odstředivé síla, která je stejně velká jako odstředivá, ale působí opačným směrem (pozor ale u gravitace, u gravitace odstředivé síly nepůsobí). Vzorec je stejný: $a_{d} = \frac{v^2}{r} = \omega^2r$
+
+# Momenty
+Nyní se dostáváme do dynamiky. Hledáme ekvivalenty hybnosti a setrvačnosti u rotačního pohybu. To není tak jednoduché jako u přímočarého pohybu, jelikož je zde třeba počítat nejen s hmotností a rychlostí otáčení, ale třeba i s tvarovým gestem tělesa.
+
+Máme 3 základní momenty, které jsou analogie klasických veličin a to **moment síly** - analogie klasické síly, **moment setrvačnosti** - analogie klasické hmotnosti a **moment hybnosti** - analogie klasické hybnosti.
+
+**Moment síly**: $M = r \times F$
+popř. pro sílu pod úhlem je to: $M = r \times F \sin \alpha$
+To je ale pouhý převod z vektoru síly na rameno. Nás zajímá obdoba vzorce $F = ma$
+$$
+M = I \epsilon
+$$, kde $\epsilon$ je úhlové zrychlení a $I$ je moment setrvačnosti, který slouží jako obdoba hmotnosti.
+
+**Moment setrvačnosti**: $I$ je výrazně zajímavější. Ten je nejen závislý na hmotnosti tělesa (jak by mohlo být patrné ze vztahu pro moment síly), ale i na tvarovém gestu tělesa.
+Pro spojité těleso: $I = \int r^2dm$ 
+Z toho lze usoudit, že hmota daleko od osy je o dost důležitější. 
+Momenty nějakých standardních těles: 
+- koule: $I = mr^2$
+- plný disk: $I = \frac{1}{2}mr^2$
+- obruč: $I = mr^2$
+Středoškolsky: Moment setrvačnosti je: $I = kmr^2$, kde $k$ je měřitelná konstanta tvaru tělesa, která je závislá na jeho ose otáčení.
+
+**Moment hybnosti**: To je ekvivalent klasické hybnosti. Pomocí momenty hybnosti zjišťujeme, jak obtížné je objekt roztočit. Pro klasickou fyziky platí: $p = mv$. Pro rotační ekvivalent:
+$$
+L = I\omega
+$$
+## Důležité vlastnosti:
+**Zákon zachování momentu hybnosti**: Platí, že pokud měníme nějaké vlastnosti systéme, ale nebereme z něj jeho energii, pak jeho moment hybnosti musí zůstat a projeví se to jinak.
+Například když zmenšíme poloměr otáčení, moment zůstane stejný a zvýší se rychlost (protože se sníží moment setrvačnosti). To je typický příklad s baletkou.
+Lze zapsat jako:
+$$
+\frac{\delta L}{\delta t} = M?
+$$ what?
+
+**Úhlová kinetická energie**:
+Analogicky klasické kinetická energie je: $E = \frac{1}{2}mv^2$. Úhlový ekvivalent je:
+$$
+E = \frac{1}{2}I\omega^2
+$$