6.3 KiB
- budeme měřit chyby měření, protože nemáme přesné metody měření
- chyba měření = | naměřená hodnota - pravá hodnota |
- existuje chyba systematická a chyba náhodná
Chyba náhodná
je taková chyba, která vzniká kontinuální změnou podmínek při měření (tedy, když 2x naměřím stejnou věc, dostanu trochu jiný výsledek). Vniká třeba elektromagnetickým rušením, otřesy, pohybem vzduchu, špatnými smysly experimentátory (nedokáže přesně určit třeba hodnotu na škále (pravítku)). Řešit to můžeme třeba uděláním více měření a jejich aritmetickým průměrem. Zde nám pomáhá zákon velkých čísel.
Chyba systematická
To je chyba způsobená konstantní nedokonalostí měřícího procesu. Zatímco chyba náhodná se může/nemusí projevit, chyba systematická zůstává stejná. Může to být třeba nepřesnost měřícího přístroje, nedokonalá kalibrace, e.t.c.
Př: při vážení objektu s malou hustotou zapomene započítat vztlakovou sílu. Při měření napětí na zdroji zapomene spočítat vliv nezanedbatelného poměru vnitřního odporu zdroje a vnitřního odporu voltmetru...
Jak zacházet se systematickou chybou
Hodnota i-tého měření x_{i} je
x_{i} = x_{s} + \epsilon_{1}
$$, kde $x_{s}$ je skutečná hodnota a $\epsilon_{i}$ je chyba i-tého měření.
### Průměrování
Součet měření a průměr měření ->
\sum_{i}^N x_{i} = \sum_{i}^N (x_{s} + \epsilon_{i}) = Nx_{s}\sum_{i}^N \epsilon_{i} \to \frac{1}{N}\sum_{i}^N x_{i} = x_{s} + \frac{1}{N}\sum_{i}^N \epsilon_{i}
A my vzhledem k náhodnosti chyby očekáváme, že se limitní součet nekonečna chyb blíží k nule (vzhledem k zákonu velkým číslem) stejně, jako když se při nekonečno hodech mincí blíží šance k 50% na stranu (v realitě nemusí, ale krajně nepravděpodobné ani nepopisuje jak moc nepravděpodobné by to bylo).
\lim_{ N \to \infty } \frac{1}{N}\sum_{i}^N \epsilon_{i} = 0
$$ dosadíme do \frac{1}{N}\sum_{i}^N x_{i} = x_{s} + \frac{1}{N}\sum_{i}^N \epsilon_{i}
\lim_{ N \to \infty } \frac{1}{N}\sum_{i}^N x_{i} = x_{s}
My nemůžeme udělat nekonečné měření, ale závěr je, že čím více měření uděláme, tím víc se jejich průměr bude blížit k opravdové hodnotě.
Tento vztah lze nalézt i z metody nejmenších čtverců, ale myslím si, že princip je docela jednoduchý. (tbh, to tu zbytečně vysvětluju)
Směrodatná odchylka
Víme, že čím dál jsou naměřené hodnoty od pravé hodnoty, tím méně přesné měření je. Když ale chceme zjistit jak velká je taková chyba, nelze to dělat průměrem, jelikož záporné odchylky vyváží kladné, tedy průměr těchto hodnot se blíží k nule.
To lze řešit jako sčítáním absolutní hodnoty, ale praktičtější je sčítat druhou mocninu odchylek (protože s absolutní hodnotou se nahovno pracuje).
Výpočet tzv. výberového rozptylu:
s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i}^N(x_{i}-\overline{x})^2
Výpočet směrodatné odchylky:
s = \sqrt{ \frac{1}{N-1} \sum_{i}^N(x_{i}-\overline{x})^2 }
Pozn: Proč \frac{1}{N-1}? Údajně proto, protože nám stačí pouze N-1 hodnot, abychom znali všechny potřebné informace k odchylce. To proto, protože \sum \nabla_{a} = 0. Tedy poslední N-tá hodnota se dá dopočítat z ostatních.
Hustota pravděpodobnosti
Hustota pravděpodobnosti je funkce, jejíž plocha reprezentuje pravděpodobnost výsledku na nějakém intervalu. To znamená, že veškerá plocha pod funkcí má obsah jedna (tedy 100%) a my jsme schopní integrálem mezi dvěma body této funkce zjistit, jaká je šance nějakého intervalu. Je ale dobré vědět, že šance dosáhnout nějakého konkrétního bodu je nulová.
platí tedy:
P(x_{1} \leq x \leq x_{2} ) = \int_{x_{1}}^{x_{2}}f_{x}(u)du
$$ Ta **hustota pravděpodobnosi je v tomto případě $f_{x}$**.
\int_{-\infty}^{\infty}f_{x}(u)du = 1 = 100%
Kde $u$ je naše veličina, kterou takto popisujeme.
Dále máme **střední hodnotu**, tedy **průměr**. Kdybychom experiment opakovali nekonečněkrát, dostaneme průměrně tento výsledek:
\micro = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}uf_{x}(u)du
A pak máme variabilitu, což je **kvadrát průměrné odchylky od průměru**.
\sigma^2 = Var[X] = \int_{-\infty}^{\infty}( u - \micro )^2f_{x}(u)du
A odmocnina variability je směrodatná odchylka:
\sigma = \sqrt{ Var[X] } = \sqrt{ E[(u-\micro)^2] }
### Rovnoměrné rozdělení
Je taková funkce hustoty pravděpodobnosti, která je konstantní a platí, že na jakémkoli intervalu <a,b> má konstantní hodnotu (a to docela přesně $\frac{1}{b-a}$) a jinde je rovna nule.
Plocha funkce vypadá jako obdélník. Její hodnota musí být v $<a,b>$ rovna $h = \frac{1}{b-a}$, jelikož délka tohoto intervalu je $d =b-a$ a platí, že $h\cdot d = (b-1)\cdot \frac{1}{b-a} = 1 = 100\%$.
Střední hodnota je prostřední hodnota intervalu a to $\micro = E[X] = \frac{a+b}{2}$.
Rozptyl je:
\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (u-\micro)^2f_{x}(u)du = \frac{(b-a)^2}{12}
Tedy směrodatná odchylka je (kde $\nabla$ je šířka intervalu):
\sigma = \frac{b-a}{\sqrt{ 12 }} = \frac{\nabla}{\sqrt{ 12 }} $$ ale pro rovnoměrnou distribuce to většinou značíme polovinou intervalu tedy:$$ \sigma = \frac{\nabla'}{\sqrt{ 3 }}
### Normálové rozdělení
# Nejistoty měření
V realitě nikdy nemůžeme najít opravdovou hodnotu, tedy postupujeme podle:
výsledek měření = odhad skutečné hodnoty +- nejistota měření.
Existují 2 metody a to metody typu A a metoda typu B (ano vážně se tomu v metrologii tak říká...)
## Metoda typu A
V kostce mám $M$ naměřených hodnot a najdu:
- průměr
- směrodatnou odchylku
a z toho určím nejistotu měření.
Je to čistě statistická metoda.
**Průměr** je jednoduchý a to prostě:
\overline x =\frac{1}{M} \sum_{i}^{M} x_{i}
A **směrodatná odchylka** (standardní chyba) je:
s = \sqrt{ \frac{1}{M}\sum_{i}^M(x_{i} - \overline x)^2 }
Průměr sám o sobě ale není přesný a je třeba spočítat i **standardní chybu průměru.** -> což je ta chyba, co vlastně hledáme
\overline s = \frac{s}{\sqrt{ N }}
## Metoda typu B
Tady
# Prezentace výsledků
# Příklady
# Metoda nejmenších čtverců
# Dodatek