# Diferenciál
Diferenciál funkce je způsob **aproximace** funkce v nějakém bodě. V případě, že mám nějakou funkci v nepřirozeném bodě velmi blízko hodnoty, co dokážu spočítat, můžu odhadnout hodnotu v nepřirozeném bodě pomocí diferenciálu.
**To bude podle předpisu:**
$$
f(x_{0} + h) \approx f(x_{0}) + f'(x_{0})h
$$
To dává smysl, protože diferenciál je vlastně hodnoty na tečně k bodu. Čím blíž je hledaný bod ke známému bodu, tím přesnější je náš výsledek.

Např. mám funkci $\ln(1,05)$.
$$
\ln(1,05) \approx \ln(1) + \ln'(1)(0.05) = 0 + \frac{1}{1}(0,05) = 0,05
$$
Tedy náš odhad je $0,05$. **Je třeba si ale uvědomit, že se dopouštím nějaké chyby.**

Pro funkci více proměnných využiju parciálních derivací a bude platit (pro bod a):
$$
f(a_{1} + h, a_{2} + k) = f(a_{1},a_{2}) + f_{x}'(a_{1},a_{2})h + f_{y}'(a_{1},a_{2})
$$

# Tečná rovina
Pokud chceme najít tečnou rovinu k bodu na funkci, můžeme jí vyjádřit pomocí tečny ke každé ose v bodě. Jeden způsob jak najít tečnou rovinu je jí vyjádřit přímo pomocí diferenciálu:
$$
z = f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(h) + \frac{\delta f}{\delta y}(k)
$$
Myšlenka je taková, že pokud se pohybujeme z bodu po součtu násobků dvou nezávislých vektorů, pohybujeme se po rovině. Pokud složíme naší rovinu z tečných přímek, dostaneme naší tečnou rovinu.

Z rovnic $x = x_{0} + h$ a $y = y_{0} + k$ u diferenciálu můžeme vyjádřit $h = (x-x_{0})$ a $k = (y -y_{0})$.
Tedy:
$$
\tau :f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(x-x_{0}) + \frac{\delta f}{\delta y}(y-y_{0}) - z
$$
Alternativní zápis pomocí gradientu je:
$$
\tau:g(x) = f(a) = \nabla f(a)(x-a)
$$
kde $\nabla f(a)$ je gradient, to platí protože: (je tam skalární součin)
$$
\nabla f(a)(x-a) = (f_{x},f_{y})\cdot(x_{0}-x,y_{0}-y) = f_{x}(x-x_{0}) + f_{y}(y-y_{0})
$$, kde $f_{x} = \frac{\delta f}{\delta x}, f_{y} = \frac{\delta f}{\delta y}$, protože to je pouze jiný způsob zápisu.

## Normála
Víme, že pro rovinu platí, že její normálový vektor jsou koeficienty před jejími členy (x,y,z).
Její normálový vektor $\vec{n}$ pro rovinu $\tau :f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(x-x_{0}) + \frac{\delta f}{\delta y}(y-y_{0}) - z$
je:
$$
\vec{n} = \left( \frac{\delta f}{\delta x}, \frac{\delta f}{\delta y}, -1 \right)
$$

Rovnice normálové přímky parametricky pak je: (pro parametr $t \in R$)
$$
x = x_{0} + \frac{\delta f}{\delta x}(t)
$$
$$
y = y_{0} + \frac{\delta f}{\delta y}(t)
$$
$$
z = f(x_{0},y_{0}) - t
$$