pridany poznamky na parc. der. a diferencial

Diferenciál a tečná rovina.md

@@ -0,0 +1,29 @@
+# Diferenciál
+Diferenciál funkce je způsob **aproximace** funkce v nějakém bodě. V případě, že mám nějakou funkci v nepřirozeném bodě velmi blízko hodnoty, co dokážu spočítat, můžu odhadnout hodnotu v nepřirozeném bodě pomocí diferenciálu.
+**To bude podle předpisu:**
+$$
+f(x_{0} + h) \approx f(x_{0}) + f'(x_{0})h
+$$
+To dává smysl, protože diferenciál je vlastně hodnoty na tečně k bodu. Čím blíž je hledaný bod ke známému bodu, tím přesnější je náš výsledek.
+
+Např. mám funkci $\ln(1,05)$.
+$$
+\ln(1,05) \approx \ln(1) + \ln'(1)(0.05) = 0 + \frac{1}{1}(0,05) = 0,05
+$$
+Tedy náš odhad je $0,05$. **Je třeba si ale uvědomit, že se dopouštím nějaké chyby.**
+
+Pro funkci více proměnných využiju parciálních derivací a bude platit (pro bod a):
+$$
+f(a_{1} + h, a_{2} + k) = f(a_{1},a_{2}) + f_{x}'(a_{1},a_{2})h + f_{y}'(a_{1},a_{2})
+$$
+
+# Tečná rovina
+Pokud chceme najít tečnou rovinu k bodu na funkci, můžeme jí vyjádřit pomocí tečny ke každé ose v bodě. Jeden způsob jak najít tečnou rovinu je jí vyjádřit přímo pomocí diferenciálu:
+$$
+z = f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(h) + \frac{\delta f}{\delta y}(k)
+$$
+Z rovnic $x = x_{0} + h$ a $y = y_{0} + k$ u diferenciálu můžme vyjádřit $h = (x-x_{0})$ a $k = (y -y_{0})$.
+Tedy:
+$$
+\tau :f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(x-x_{0}) + \frac{\delta f}{\delta y}(y-y_{0}) - z
+$$

Parciální derivace.md

@@ -23,5 +23,41 @@ Derivace v bodě f(2, 1) je ve směru x: $\sin(2\cdot1) + 2\cdot 1 \cdot \cos(2\
 
 **Důležité je si uvědomit, že derivace v bodě nemá jednu konkrétní hodnotu.** U funkce jedné proměnné bylo jednoduché nakreslit tečnu a zjisti její směrnici, ale zde se na bod můžeme koukat z nekončena různých směrů. Na kraji vlny jeden směr může rychle stoupat, ale z boku lze jít stále rovně bez stoupání.
 Místo tečny můžeme udělat tečnou rovinu a vybrat si kterýkoli možný směr, kudy se na ní pohybovat.
-# Parciální derivace ve směru
-# Parciální derivace vyšších řádů
+# Směrová parciální derivace
+Z definice:
+$$
+\frac{\delta f}{\delta h}(a) =\lim_{ t \to 0 } \frac{f(a + th) - f(h)}{t} 
+$$ kde $h$ je směrový vektor derivace, $a$ je bod a $t$ je parametr. V podstatě si to jde představit tak, že se pohybuji o malinký kousíček ve směru hledané derivace a čím víc zmenšuji tento kousíček, tím víc se blížím k derivaci v bodě a ve směru.
+Dá se to přepsat i takto: pro $\varphi(t) = f(a + th)$:
+$$
+\frac{\delta \varphi}{\delta h} = \lim_{ t \to \infty }    \frac{\varphi(t) - \varphi(0)}{t}
+$$
+
+Příklad v praxi: (isibalo)
+Nalezněte derivaci $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3xy$ v bodě a[1,2] a směru $\vec{h} = (-2,1)$.
+$$
+\varphi(t) = f(a_{1} + th_{1}, a_{2 + th_{2}}) = f(1 + t(-2), 2 + t(1)) = f(1 -2t, 2 + t)
+$$
+$$
+= (1-2t)^2 + 2(2+t)^2 - 3(1-2t)(2+t) = 1 - 4t + 4t^2 + 8 + 8t + 2t^2 - 3(2 + t -4t - 2t^2)
+$$
+$$
+ = (4 + 2 + 6)t^2 + (8 - 4 + 9)t + (1 + 8 - 6) = 12t^2 + 13t + 3
+$$
+$$
+\varphi'(t) = f'(a + th) = (12t^2 + 13t + 3)' = 24t + 13 
+$$
+$$
+f_{h}(a) = \varphi'(0) = 24(0) + 13 = 13
+$$
+Derivace v bodě a ve směru h je 13.
+Šlo by to udělat i obecně. Místo hodnot tam dát parametry a pak dosazovat.
+
+# Parciální derivace vyšších řádů
+... dodělat...
+
+Derivovanou funkci můžu derivovat víckrát dle os nebo směru. Když derivuji osy tak pro první derivaci mám 2 parciální derivace, po druhé mám 4 parciální derivace a po třetí 8, etc. 
+$$
+f'(x,y) \to f_{x}, f_{y} \to f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy} \to f_{xxx},f_{xxy},f_{xyx},f_{xyy},f_{yxx},f_{yxy},f_{yyx},f_{yyy} \to\dots
+$$
+V případě spojité původní funkce (a spojitých derivací) ale platí, že funkce se stejným počtem derivovaných os mají stejné derivace, tedy $f_{yyx} = f_{xyy} = f_{yxy}$.