pridany poznamky na parc. der. a diferencial

Diferenciál a tečná rovina.md

@@ -0,0 +1,29 @@
+# Diferenciál
+Diferenciál funkce je způsob **aproximace** funkce v nějakém bodě. V případě, že mám nějakou funkci v nepřirozeném bodě velmi blízko hodnoty, co dokážu spočítat, můžu odhadnout hodnotu v nepřirozeném bodě pomocí diferenciálu.
+**To bude podle předpisu:**
+$$
+f(x_{0} + h) \approx f(x_{0}) + f'(x_{0})h
+$$
+To dává smysl, protože diferenciál je vlastně hodnoty na tečně k bodu. Čím blíž je hledaný bod ke známému bodu, tím přesnější je náš výsledek.
+
+Např. mám funkci $\ln(1,05)$.
+$$
+\ln(1,05) \approx \ln(1) + \ln'(1)(0.05) = 0 + \frac{1}{1}(0,05) = 0,05
+$$
+Tedy náš odhad je $0,05$. **Je třeba si ale uvědomit, že se dopouštím nějaké chyby.**
+
+Pro funkci více proměnných využiju parciálních derivací a bude platit (pro bod a):
+$$
+f(a_{1} + h, a_{2} + k) = f(a_{1},a_{2}) + f_{x}'(a_{1},a_{2})h + f_{y}'(a_{1},a_{2})
+$$
+
+# Tečná rovina
+Pokud chceme najít tečnou rovinu k bodu na funkci, můžeme jí vyjádřit pomocí tečny ke každé ose v bodě. Jeden způsob jak najít tečnou rovinu je jí vyjádřit přímo pomocí diferenciálu:
+$$
+z = f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(h) + \frac{\delta f}{\delta y}(k)
+$$
+Z rovnic $x = x_{0} + h$ a $y = y_{0} + k$ u diferenciálu můžme vyjádřit $h = (x-x_{0})$ a $k = (y -y_{0})$.
+Tedy:
+$$
+\tau :f(a) + \frac{\delta f}{\delta x}(x-x_{0}) + \frac{\delta f}{\delta y}(y-y_{0}) - z
+$$