# Fundamentální ### Napište základní jednotky SI, stručně popište způsob jejich zavedení a rozložte jednotku tesla na součin základních jednotek SI. Jednotky SI: **Je jich 7** | Veličina | Jednotka | Symbol | Definice | | --------- | ------------ | ------ | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | Délka | **metr** | *m* | vzdálenost, kterou světlo ve vakuu urazí za přesně 1/299 792 458 sekundy | | Čas | **sekunda** | *s* | čas, během kterého atom Cs-133 vykoná přesně 9 192 631 770 kmitů | | Hmotnost | **kilogram** | *kg* | taková hmotnost, že Planckova konstanta h = přesně 6,626 07015 × 10⁻³⁴ J·s | | Proud | **ampér** | *A* | | | Teplota | **kelvin** | *K* | 1 K je taková teplota, že Boltzmannova konstanta k = přesně 1,380 649 × 10⁻²³ J/K | | Množství | **mol** | *mol* | 1 mol obsahuje přesně 6,022 14076 × 10²³ elementárních entit | | Svítivost | **kandela** | *cd* | 1 cd je svítivost zdroje, který vyzařuje monochromatické záření o frekvenci 540 × 10¹² Hz s výkonem 1/683 W ve stanoveném směru | --- Zavedení: Máme více způsobů zavedení: 1) **Přes fyzikální konstanty (od roku 2019)** - to znamená, že se vybera nějaká fyzikální konstanta a přiřadí se jí nějaká určená hodnota. Násobek tou hodnotou nebo podíl je pak nová jednotka SI - např: rychlost světla je c = 299 792 458 m/s 2) **Zavedení přes etalony** - hodnota zavedena dle nějakých předmětů, které tu hodnotu určují - tzv. etalony. Např. do roku 1983 byl metr definovaný platinovou tyčí v Paříži --- Tesla: Je jednotka magnetické indukce **Z Lorenzovy síly:** $$ F = q(v \times B) $$ přepsáno: $$ B = \frac{F}{qv} $$ Jednotky: $$ T = \frac{N\cdot s}{C\cdot m} = \frac{(kg \cdot m)\cdot s}{C \cdot m \cdot (s^2)} = \frac{kg}{C\cdot s} = \frac{kg}{(A\cdot s)\cdot s} = kg\cdot A^{-1}\cdot s^{-2} $$ ### Uveďte znění Newtonových pohybových zákonů a jejich odpovídající matematické vyjádření. 1) Těleso zůstává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno svůj pohybový stav změnit působením vnějších sil. $$ \vec{F} = \vec{o} \to \vec{v} = konst. $$ nebo asi také: $$ \vec{F} \sim \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} $$ 2) Časová změna hybnosti tělesa je rovna síle, která na něj působí. $$ \frac{\delta \vec{p}}{\delta t} = \vec{F} $$ 3) Jestliže dvě tělesa na sebe vzájemně působí silami, pak jsou tyto síly stejně velké, ale opačně orientované, leží na společné silové přímce a v každém okamžiku platí: $$ F_{12} = -F_{21} $$ --- shrnutí: 1) **klid a pohyb** 2) **hybnost a síla** 3) **opačná síla** ### Napište první a druhou větu impulzovou pro soustavu hmotných bodů. 1) věta mluví o bilanci sil v soustavě -> výslednice sil v soustavě hmotných bodů je rovna derivace celkové hybnosti soustavy. $$ \frac{d}{dt} \sum^n_{i=1} p_{i} = \frac{d}{dt} \sum^n_{i=1} m_{i}v_{i} = F_{vysl.} $$ 2) druhá věta impulsová mluví o celkovém momentu sil celé soustavy, víme, že moment síly je derivace momentu hybnosti za čas $$ \frac{d}{dt}\sum^n_{i=1} L_{i} = M_{výsl.} $$ ### Uveďte znění Newtonova gravitačního zákona a Keplerových zákonů; doplňte o matematická vyjádření nebo náčrtky. > [!Znění gravitačního zákona:] > Dva hmotné body se přitahují silou, jejíž velikost je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná kvadrátu jejich vzdálenosti. Vyjádřeno **skalárně**: $$ F = G \frac{m_{1}m_{2}}{r^2} $$ Vyjádřeno **vektorově** (na těleso 2 působením tělesa 1): $$ F_{21} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{||\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}||^3} (\vec{r_{2}} -\vec{r_{1}}) $$ --- > [!První keplerův zákon:] > Planety obíhají kolem Slunce po [eliptických](https://cs.wikipedia.org/wiki/Elipsa "Elipsa") [drahách](https://cs.wikipedia.org/wiki/Oběžná_dráha "Oběžná dráha") (přesněji trajektoriích), v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce. > [!Druhý keplerův zákon:] > Obsahy ploch opsaných průvodičem planety (spojnice planety a Slunce) za stejný čas jsou stejně velké. $$ w = \frac{\delta S}{\delta t} = \frac{L}{2m} = konst. $$ kde L je moment hybnosti a m je hmotnost obíhajícího tělesa (která je obsažena i v L, takže se vyruší a nezáleží na ni) Jak spočítat L obecně: $$ L = m \sqrt{ GMa(1-e^2) } $$ m - hmostnost obíhajícího objektu, G - gravitační konstanta a - velká poloosa, e - excentricita $$ L = m r_{min}v_{max} = mr_{max}v_{min} $$ tedy moment hybnosti v periheliu (nejmenší vzdálenost, největší rychlost) je rovna rychlosti v afeliu (největší vzdálenost, nejmenší hybnost). kde $L$ je moment hybnosti soustavy a > [!Třetí keplerův zákon:] > Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin délek jejich hlavních poloos (středních vzdáleností těchto planet od Slunce). $$ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = konst. $$ kde $T$ je perioda oběhu a $a$ je excentricita. $M$ je hmotnost obíhaného objektu. ### Napište Lagrangeovy rovnice 2. druhu (pro případ konzervativních sil). $$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 $$ Kde $L = T - U$ je lagrangián, $T$ je kinetická energie, $U$ je zobecněná energie a $q$ je zobecněná souřadnice. ### Napište tvary rovnice kontinuity jak pro tok tekutiny, tak pro elektrický náboj v diferenciálním i integrálním tvaru. **Rovnice kontinuity pro tekutiny:** $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot(\rho v) $$ $$ \iiint_{V} \frac{\partial p}{\partial t}\space dV = - \iint_{\partial V} (\rho \vec{v})\cdot dS $$ --- **Rovnice kontinuity pro elektrický náboj:** $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot j = 0 $$ kde $j = \rho \vec{v}$ je, $\rho$ je nábojová hustota $$ I = -\frac{\partial q}{\partial t} = \iint_{\partial V}j\cdot dS = - \iiint_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t} \space dV $$ Kde $J$ je hustota elektrického proudu. ### Uveďte postuláty speciální teorie relativity. > [!První postulát] > Všechny fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar. - de facto zobecnění Galileův zákon > [!Druhý postulát] > Rychlost světa ve vakuu je všech inerciálních vztažných soustavách stejná. ### Napište Coulombův zákon pro dva bodové náboje a pro silové působení náboje o hustotě ρ rozprostřeného v objemu V′ na bodový náboj q; doplňte vhodným náčrtkem. **Pro dva bodové náboje:** Coulombův zákon ve skalárním tvaru: $$ F_{C} = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{r^2} $$ Coulombův zákon ve vektorovém tvaru: $$ F_{21} = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{||\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}||^3}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}) $$ --- **Pro distribuovaný náboj a bod:** $$ F = \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \int_{V} \rho(\vec{r})dV $$ ### Napište Maxwellovy rovnice v diferenciálním a integrálním tvaru pro materiálové prostředí a vakuum. **Legenda**: E - > elektrická intenzita D -> elektrická indukce H -> magnetická intenzita B -> magnetická indukce --- **Diferenciální tvar:** Gaussův zákon elektrostatiky: $$ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $$ Gaussův zákon magnetického pole (neexistence magnetických monopólů: $$ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $$ Faradayův zákon elektromagnetické indukce: $$ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t} $$ Ampérův-Maxwellův zákon celkového proudu: $$ \nabla \times B = \epsilon_{0}\micro_{0} \space \frac{\partial E}{\partial t} $$ --- **Integrální tvar**: Gaussův zákon elektrostatiky: $$ \iint_{\partial V} \vec{E}\cdot dS = 0 $$ Gaussův zákon magnetického pole (neexistence magnetických monopólů: $$ \iint_{\partial V}\vec{B}\cdot dS = 0 $$ Faradayův zákon elektromagnetické indukce: $$ \oint_{\partial S} \vec{E}\cdot dr = -\frac{d}{dt} \iint_{S}B\cdot dS $$ Ampérův-Maxwellův zákon celkového proudu: $$ \oint_{\partial S} \vec{B}\cdot dr = \iint_{S} \epsilon_{0}\micro_{0} \space\frac{\partial E}{\partial t}\cdot dS $$ # Obecné ### Měření délky matematického kyvadla bylo zatíženo standardní nejistotou u(ℓ) a měření periody kmitů standardní nejistotou u(T). Odpovídající průměrné hodnoty veličina označíme jako ¯ℓ a ¯T . Určete vzorec pro kombinovanou standardní nejistotu gravitačního zrychlení g, jestliže všechny ostatní zdroje nejistot lze považovat za zanedbatelné. ## Pohyb po kružnici + (inerc. neinerc.) ### Definujte velikost úhlu v radiánech, doplňte vhodným náčrtkem. Úhel je délka oblouku dělena poloměrem kružnice. $$ \varphi [rad] = \frac{s}{r} $$, kde s je délka oblouku a r je poloměr kružnice. ### Rozepište vektor zrychlení a pomocí jeho tečné a normálové složky. Pro obě uveďte vztahy. $$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{\tau}) = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + \frac{d\vec{\tau}}{dt}v $$ kde složka $$\frac{dv}{dt}\vec{\tau} = \vec{a_{t}}$$ vyjadřuje změnu rychlosti ve směru tečného vektoru (**je to tečné zrychlení** - mění rychlost) a složka $$\frac{d\vec{\tau}}{dt}v = \vec{a_{n}}$$ vyjadřuje změnu tečny se stejnou rychlostí (**je to normálové zrychlení** - mění směr) vzorec nahoře je rozepsání: $$ \vec{v} = v\vec{\tau} $$ kde v je velikost rychlosti a tau je tečný jednotkový vektor. Vzorec se dál rozepíše dle pravidla násobení v derivaci. Lze to rozepsat ještě pomocí Frenetova rámce a vzorců do lepší podoby: Protože $$ \frac{ds}{dt} = v $$ a $$ \frac{d\vec{\tau}}{ds} = \kappa \vec{N} = \frac{1}{R}\vec{N} $$ $$ \frac{d\vec{\tau}}{dt}v = \left( \frac{d\vec{\tau}}{ds} \right) \left( \frac{ds}{dt} \right) v = (\kappa \vec{N})(v)v = \vec{N} \frac{v^2}{R} $$ Tedy: $$ \vec{a} = \vec{a_{t}} + \vec{a_{n}} = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + \frac{v^2}{R} \vec{N} $$ ### Pro případ rovnoměrného pohybu po kružnici napište vztahy mezi úhlovou rychlostí, periodou a frekvencí. $$ f =\frac{1}{T} $$ $$ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi (rad)}{T} $$ proč? úhlová rychlost říká, kolikrát za čas oběhne pohyb celý kruh. Protože celý kruh je $2\pi rad$ a $\frac{1}{T}$ říká "jedno otočení, za T sekund", tak pro úhlovou rychlost v radiánech (a ne jednotkách otočení) musíme vynásobit $\frac{1}{T}$ počtem radiánů v otočení (což je $2\pi$). Damn, do toho jsem se nějak zamotal. ### Za jakých podmínek působí na hmotný bod v neinerciální vztažné soustavě Coriolisova síla? Corlissova síla vzniká, když se těleso pohybuje nějakou rychlostí od středu vlastní soustavy a soustava rotuje. Závisí na rychlosti bodu vůči ose otáčení a na úhlové rychlosti soustavy. $$ F_{cor} = 2\omega \times v' $$ ## Síla práce dynamika? ### Definujte práci síly F vykonanou po křivce C nejobecnějším způsobem. $$ W = \int_{c}F\cdot d\vec{r} $$ ### Definujte veličinu okamžitý výkon a uveďte její souvislost se silou působící na pohybující se hmotný bod. $$ P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} $$ ### Pomocí jaké operace se z potenciální energie obdrží konzervativní síla? $$ \vec{F} = -\nabla U $$ ### Uveďte alespoň jednu z vlastností nekonzervativní síly a nějaký její příklad. **Vykoná práce závisí na dráze.** (a ne pouze na počáteční a konečné poloze jako u konzervativních sil). Třecí síla je třeba nekonzervativní síla. ## Analytická mechanika ### Definujte pojem cyklická souřadnice, definujte zobecněnou hybnost a uveďte, co tyto dva pojmy spojuje. ### Napište Hamiltony kanonické rovnice. ## Oscilace ### Uveďte vzorce pro vratnou sílu pružnosti, její potenciální energii a vztah, který je spojuje. $$ \vec{F} = -kx $$ $$ U = \frac{1}{2}kx^2 $$ $$ \vec{F} = -\nabla U $$ ### Napište pohybovou rovnici netlumeného lineárního harmonického oscilátoru a některý z možných tvarů jejího řešení $$ F = -kx $$ $$ m\ddot{x} + kx = 0 $$ $$ \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0 $$ **Ta poslední je to co je pohybová rovnice:** $$ \ddot{x} + \omega^2x = 0 $$ --- Tvary: $$ A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = x $$ $$ A\sin(\omega t + \varphi_{0}) = 0 $$ ## Mechanika tuhého tělesa ### Uveďte definiční vztahy polohy hmotného středu tuhého tělesa a momentu setrvačnosti tuhého tělesa. Moment setrvačnosti: $$ I = \int_{V}r_{\perp}^2\rho(\vec{r})\space dV $$ Střed hmotného tělesa: $$ \vec{r_{T}} = \frac{\int_{V}\vec{r}\rho(\vec{r})\space dV}{\int_{V}\rho(\vec{r})\space dV} = \frac{1}{M} \int_{V}\vec{r} \space dm $$ ### Napište Konigovu větu pro pohyb tuhého tělesa (rotaci uvažujte pouze vzhledem jedné ose). Konigova věta mluví o kinetické energii tělesa, které je jak pohybu přímočarém, tak v pohybu rotačním. $$ T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 $$ $m$ je celkové hmotnost tělesa, $v$ je rychlost těžiště, $I$ je moment setrvačnosti, $\omega$ je úhlová rychlost ### Napište Steinerovu větu a doplňte vhodným obrázkem. $$ I_{celk} = I_{T} + md^2 $$ kde $I_{celk}$ je celkový moment setrvačnosti tělesa, $I_{T}$ je moment setrvačnosti tělese osou, která prochází těžištěm, $d$ je vzdálenost od těžiště ## STR ### Uveďte vztahy Lorentzovy transformace. $$ x' = \gamma(x - Vt) $$ $$ t' = \gamma\left( t - \frac{Vx}{c^2} \right) $$ $$ y = y' $$ $$ \gamma = \sqrt{ \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} } $$ Kde S je klidová inerciální soustava. A S' je pohybující se inerciální soustava. ### Napište vztah pro Lorentzův faktor a nakreslete graf jeho vývoje jako funkci vzájemné rychlosti dvou inerciálních soustav. $$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} }} $$ Pro v = 0 graf začíná na hodnotě 1. V hodnotě v = c se jmenovatel rovná nule a graf se blíží zleva k nekonečnu. ### Slovně popište jevy kontrakce délek a dilatace času. Doplňte příslušnými matematickými vztahy. Pro pozorovatele se zdá, že pohybující se objekt má menší rozměry ve směru osy pohybu. Tomu se říká kontrakce délek. $$ L = \frac{L_{0}}{\gamma} $$ Pozorovateli se zdá, že pohybující se události utíkají pomaleji. Tedy na zemi uběhne víc času, než v pozorované pohybující se soustavě. $$ t = \gamma t_{0} $$ ## Mechanika tekutin ### Napište Gaussův-Ostrogradského teorém a vztah pro výpočet divergence v kartézských souřadnicích. **Gauss-Ostrgradsky:** $$ \iiint_{V} (\nabla \cdot \vec{F})\space dV = \iint_{\partial V} \vec{F}\cdot d\vec{S} $$ **Divergence**: $$ div(\vec{F}) = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial\vec{F_{x}}}{\partial x} + \frac{\partial\vec{F_{y}}}{\partial y} + \frac{\partial\vec{F_{z}}}{\partial z} $$ ### Uveďte tvar Bernoulliho rovnice pro (kvazi)-jednodimenzionální stacionární proudění nestlačitelné tekutiny $$ \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh + p = konst. $$ kde $\rho$ je hustota kapaliny (nestlačitelná - nemění se), $v$ je rychlost prouděnií, $g$ je tíhové zrychlení, $h$ je výška, $p$ je tlak ## Elekto peklo