# Fundamentální
### Napište základní jednotky SI, stručně popište způsob jejich zavedení a rozložte jednotku tesla na součin základních jednotek SI.

Jednotky SI:
**Je jich 7**

| Veličina  | Jednotka     | Symbol | Definice                                                                                                                        |
| --------- | ------------ | ------ | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| Délka     | **metr**     | *m*    | vzdálenost, kterou světlo ve vakuu urazí za přesně 1/299 792 458 sekundy                                                        |
| Čas       | **sekunda**  | *s*    | čas, během kterého atom Cs-133 vykoná přesně 9 192 631 770 kmitů                                                                |
| Hmotnost  | **kilogram** | *kg*   | taková hmotnost, že Planckova konstanta h = přesně 6,626 07015 × 10⁻³⁴ J·s                                                      |
| Proud     | **ampér**    | *A*    |                                                                                                                                 |
| Teplota   | **kelvin**   | *K*    | 1 K je taková teplota, že Boltzmannova konstanta k = přesně 1,380 649 × 10⁻²³ J/K                                               |
| Množství  | **mol**      | *mol*  | 1 mol obsahuje přesně 6,022 14076 × 10²³ elementárních entit                                                                    |
| Svítivost | **kandela**  | *cd*   | 1 cd je svítivost zdroje, který vyzařuje monochromatické záření o frekvenci 540 × 10¹² Hz s výkonem 1/683 W ve stanoveném směru |

---
Zavedení:

Máme více způsobů zavedení:

1) **Přes fyzikální konstanty (od roku 2019)** - to znamená, že se vybera nějaká fyzikální konstanta a přiřadí se jí nějaká určená hodnota. Násobek tou hodnotou nebo podíl je pak nová jednotka SI - např: rychlost světla je c = 299 792 458 m/s
2) **Zavedení přes etalony** - hodnota zavedena dle nějakých předmětů, které tu hodnotu určují - tzv. etalony. Např. do roku 1983 byl metr definovaný platinovou tyčí v Paříži

---
Tesla:
Je jednotka magnetické indukce

**Z Lorenzovy síly:**
$$
F = q(v \times B)
$$
přepsáno:
$$
B = \frac{F}{qv}
$$
Jednotky:
$$
T = \frac{N\cdot s}{C\cdot m} = \frac{(kg \cdot m)\cdot s}{C \cdot m \cdot (s^2)} = \frac{kg}{C\cdot s} = \frac{kg}{(A\cdot s)\cdot s} = kg\cdot A^{-1}\cdot s^{-2}
$$
### Uveďte znění Newtonových pohybových zákonů a jejich odpovídající matematické vyjádření.

1) Těleso zůstává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno svůj pohybový stav změnit působením vnějších sil.

$$
\vec{F} = \vec{o} \to \vec{v} = konst.
$$
	nebo asi také:
$$
\vec{F} \sim \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}
$$

2) Časová změna hybnosti tělesa je rovna síle, která na něj působí.
$$
\frac{\delta \vec{p}}{\delta t} = \vec{F}
$$
3) Jestliže dvě tělesa na sebe vzájemně působí silami, pak jsou tyto síly stejně velké, ale opačně orientované, leží na společné silové přímce a v každém okamžiku platí:
$$
F_{12} = -F_{21}
$$
---
shrnutí:
1) **klid a pohyb**
2) **hybnost a síla**
3) **opačná síla**
### Napište první a druhou větu impulzovou pro soustavu hmotných bodů.
1) věta mluví o bilanci sil v soustavě -> výslednice sil v soustavě hmotných bodů je rovna derivace celkové hybnosti soustavy.

$$
\frac{d}{dt} \sum^n_{i=1} p_{i} = \frac{d}{dt} \sum^n_{i=1} m_{i}v_{i} = F_{vysl.}
$$

2) druhá věta impulsová mluví o celkovém momentu sil celé soustavy, víme, že moment síly je derivace momentu hybnosti za čas
$$
\frac{d}{dt}\sum^n_{i=1} L_{i} = M_{výsl.}
$$
### Uveďte znění Newtonova gravitačního zákona a Keplerových zákonů; doplňte o matematická vyjádření nebo náčrtky.



> [!Znění gravitačního zákona:]
> Dva hmotné body se přitahují silou, jejíž velikost je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná kvadrátu jejich vzdálenosti.

Vyjádřeno **skalárně**:
$$
F = G \frac{m_{1}m_{2}}{r^2}
$$

Vyjádřeno **vektorově** (na těleso 2 působením tělesa 1):
$$
F_{21} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{||\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}||^3} (\vec{r_{2}} -\vec{r_{1}})
$$
---

> [!První keplerův zákon:]
> Planety obíhají kolem Slunce po [eliptických](https://cs.wikipedia.org/wiki/Elipsa "Elipsa") [drahách](https://cs.wikipedia.org/wiki/Oběžná_dráha "Oběžná dráha") (přesněji trajektoriích), v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.

> [!Druhý keplerův zákon:]
> Obsahy ploch opsaných průvodičem planety (spojnice planety a Slunce) za stejný čas jsou stejně velké.

$$
w = \frac{\delta S}{\delta t} = \frac{L}{2m} = konst.
$$
kde L je moment hybnosti a m je hmotnost obíhajícího tělesa (která je obsažena i v L, takže se vyruší a nezáleží na ni)

Jak spočítat L obecně:
$$
L = m \sqrt{ GMa(1-e^2) }
$$
m - hmostnost obíhajícího objektu, G - gravitační konstanta a - velká poloosa, e - excentricita
$$
L = m r_{min}v_{max} = mr_{max}v_{min}
$$
tedy moment hybnosti v periheliu (nejmenší vzdálenost, největší rychlost) je rovna rychlosti v afeliu (největší vzdálenost, nejmenší hybnost).

kde $L$ je moment hybnosti soustavy a 
> [!Třetí keplerův zákon:]
> Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin délek jejich hlavních poloos (středních vzdáleností těchto planet od Slunce).

$$
\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = konst.
$$

kde $T$ je perioda oběhu a $a$ je excentricita. $M$ je hmotnost obíhaného objektu.
### Napište Lagrangeovy rovnice 2. druhu (pro případ konzervativních sil).
$$
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
$$

Kde $L = T - U$ je lagrangián, $T$ je kinetická energie, $U$ je zobecněná energie a $q$ je zobecněná souřadnice.
### Napište tvary rovnice kontinuity jak pro tok tekutiny, tak pro elektrický náboj v diferenciálním i integrálním tvaru. 
**Rovnice kontinuity pro tekutiny:**
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot(\rho v)
$$
$$
\iiint_{V} \frac{\partial p}{\partial t}\space dV = - \iint_{\partial V} (\rho \vec{v})\cdot dS
$$
---
**Rovnice kontinuity pro elektrický náboj:**
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot j = 0
$$
kde $j = \rho \vec{v}$ je, $\rho$ je nábojová hustota
$$
I = -\frac{\partial q}{\partial t} = \iint_{\partial V}j\cdot dS = - \iiint_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t} \space dV
$$

Kde $J$ je hustota elektrického proudu.
### Uveďte postuláty speciální teorie relativity.

> [!První postulát]
> Všechny fyzikální zákony mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.

- de facto zobecnění Galileův zákon

> [!Druhý postulát]
> Rychlost světa ve vakuu je všech inerciálních vztažných soustavách stejná.

### Napište Coulombův zákon pro dva bodové náboje a pro silové působení náboje o hustotě ρ rozprostřeného v objemu V′ na bodový náboj q; doplňte vhodným náčrtkem.
**Pro dva bodové náboje:**
Coulombův zákon ve skalárním tvaru:
$$
F_{C} = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}
$$

Coulombův zákon ve vektorovém tvaru:
$$
F_{21} = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}  \frac{q_{1}q_{2}}{||\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}}||^3}(\vec{r_{2}}-\vec{r_{1}})
$$
---
**Pro distribuovaný náboj a bod:**
$$
F = \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \int_{V} \rho(\vec{r})dV
$$
### Napište Maxwellovy rovnice v diferenciálním a integrálním tvaru pro materiálové prostředí a vakuum.
**Legenda**:

E - > elektrická intenzita
D -> elektrická indukce
H -> magnetická intenzita
B -> magnetická indukce

---
**Diferenciální tvar:**
Gaussův zákon elektrostatiky:
$$
\nabla \cdot \vec{E} = 0
$$
Gaussův zákon magnetického pole (neexistence magnetických monopólů:
$$
\nabla \cdot \vec{B} = 0
$$
Faradayův zákon elektromagnetické indukce:
$$
\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}
$$
Ampérův-Maxwellův zákon celkového proudu:
$$
\nabla \times B = \epsilon_{0}\micro_{0} \space \frac{\partial E}{\partial t}
$$
---
**Integrální tvar**:
Gaussův zákon elektrostatiky:
$$
\iint_{\partial V} \vec{E}\cdot dS = 0
$$
Gaussův zákon magnetického pole (neexistence magnetických monopólů:
$$
\iint_{\partial V}\vec{B}\cdot dS = 0
$$
Faradayův zákon elektromagnetické indukce:
$$
\oint_{\partial S} \vec{E}\cdot dr = -\frac{d}{dt} \iint_{S}B\cdot dS
$$
Ampérův-Maxwellův zákon celkového proudu:
$$
\oint_{\partial S} \vec{B}\cdot dr = \iint_{S} \epsilon_{0}\micro_{0} \space\frac{\partial E}{\partial t}\cdot dS
$$

# Obecné

### Měření délky matematického kyvadla bylo zatíženo standardní nejistotou u(ℓ) a měření periody kmitů standardní nejistotou u(T). Odpovídající průměrné hodnoty veličina označíme jako ¯ℓ a ¯T . Určete vzorec pro kombinovanou standardní nejistotu gravitačního zrychlení g, jestliže všechny ostatní zdroje nejistot lze považovat za zanedbatelné.

## Pohyb po kružnici + (inerc. neinerc.)
### Definujte velikost úhlu v radiánech, doplňte vhodným náčrtkem.

Úhel je délka oblouku dělena poloměrem kružnice.
$$ 
\varphi [rad] = \frac{s}{r}
$$, kde s je délka oblouku a r je poloměr kružnice.
### Rozepište vektor zrychlení a pomocí jeho tečné a normálové složky. Pro obě uveďte vztahy.
$$
\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{\tau}) = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + \frac{d\vec{\tau}}{dt}v
$$
kde složka $$\frac{dv}{dt}\vec{\tau} = \vec{a_{t}}$$ vyjadřuje změnu rychlosti ve směru tečného vektoru (**je to tečné zrychlení** - mění rychlost)
a složka $$\frac{d\vec{\tau}}{dt}v = \vec{a_{n}}$$
vyjadřuje změnu tečny se stejnou rychlostí (**je to normálové zrychlení** - mění směr)

vzorec nahoře je rozepsání:
$$
\vec{v} = v\vec{\tau}
$$
kde v je velikost rychlosti a tau je tečný jednotkový vektor. Vzorec se dál rozepíše dle pravidla násobení v derivaci.

Lze to rozepsat ještě pomocí Frenetova rámce a vzorců do lepší podoby:
Protože 
$$
\frac{ds}{dt} = v
$$
a 
$$
\frac{d\vec{\tau}}{ds} = \kappa \vec{N} = \frac{1}{R}\vec{N}
$$
$$
\frac{d\vec{\tau}}{dt}v = \left( \frac{d\vec{\tau}}{ds} \right) \left( \frac{ds}{dt} \right) v = (\kappa \vec{N})(v)v = \vec{N} \frac{v^2}{R}
$$
Tedy:
$$
\vec{a} = \vec{a_{t}} + \vec{a_{n}} = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + \frac{v^2}{R} \vec{N}
$$
### Pro případ rovnoměrného pohybu po kružnici napište vztahy mezi úhlovou rychlostí, periodou a frekvencí.
$$
f =\frac{1}{T}
$$
$$
\omega = 2\pi f = \frac{2\pi (rad)}{T}
$$
proč? úhlová rychlost říká, kolikrát za čas oběhne pohyb celý kruh. Protože celý kruh je $2\pi rad$ a $\frac{1}{T}$ říká "jedno otočení, za T sekund", tak pro úhlovou rychlost v radiánech (a ne jednotkách otočení) musíme vynásobit $\frac{1}{T}$ počtem radiánů v otočení (což je $2\pi$).

Damn, do toho jsem se nějak zamotal.

### Za jakých podmínek působí na hmotný bod v neinerciální vztažné soustavě Coriolisova síla?

Corlissova síla vzniká, když se těleso pohybuje nějakou rychlostí od středu vlastní soustavy a soustava rotuje.

Závisí na rychlosti bodu vůči ose otáčení a na úhlové rychlosti soustavy. 

$$
F_{cor} = 2\omega \times v'
$$

## Síla práce dynamika?
### Definujte práci síly F vykonanou po křivce C nejobecnějším způsobem.
$$
W = \int_{c}F\cdot d\vec{r}
$$
### Definujte veličinu okamžitý výkon a uveďte její souvislost se silou působící na pohybující se hmotný bod.
$$
P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}
$$
### Pomocí jaké operace se z potenciální energie obdrží konzervativní síla?
$$
\vec{F} = -\nabla U
$$
### Uveďte alespoň jednu z vlastností nekonzervativní síly a nějaký její příklad.
**Vykoná práce závisí na dráze.** (a ne pouze na počáteční a konečné poloze jako u konzervativních sil).
Třecí síla je třeba nekonzervativní síla.

## Analytická mechanika
### Definujte pojem cyklická souřadnice, definujte zobecněnou hybnost a uveďte, co tyto dva pojmy spojuje.
### Napište Hamiltony kanonické rovnice.
## Oscilace
### Uveďte vzorce pro vratnou sílu pružnosti, její potenciální energii a vztah, který je spojuje.
$$
\vec{F} = -kx
$$
$$
U = \frac{1}{2}kx^2
$$
$$
\vec{F} = -\nabla U
$$
### Napište pohybovou rovnici netlumeného lineárního harmonického oscilátoru a některý z možných tvarů jejího řešení

$$
F = -kx
$$
$$
m\ddot{x} + kx = 0
$$
$$
\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0
$$
**Ta poslední je to co je pohybová rovnice:**
$$
\ddot{x} + \omega^2x = 0
$$
---
Tvary:
$$
A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = x
$$
$$
A\sin(\omega t + \varphi_{0}) = 0
$$
## Mechanika tuhého tělesa
### Uveďte definiční vztahy polohy hmotného středu tuhého tělesa a momentu setrvačnosti tuhého tělesa.
Moment setrvačnosti:
$$
I = \int_{V}r_{\perp}^2\rho(\vec{r})\space dV
$$
Střed hmotného tělesa:
$$
\vec{r_{T}} = \frac{\int_{V}\vec{r}\rho(\vec{r})\space dV}{\int_{V}\rho(\vec{r})\space dV} = \frac{1}{M} \int_{V}\vec{r} \space dm
$$
### Napište Konigovu větu pro pohyb tuhého tělesa (rotaci uvažujte pouze vzhledem  jedné ose).
Konigova věta mluví o kinetické energii tělesa, které je jak pohybu přímočarém, tak v pohybu rotačním.

$$
T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2
$$

$m$ je celkové hmotnost tělesa, $v$ je rychlost těžiště, $I$ je moment setrvačnosti, $\omega$ je úhlová rychlost
### Napište Steinerovu větu a doplňte vhodným obrázkem.

$$
I_{celk} = I_{T} + md^2
$$
kde $I_{celk}$ je celkový moment setrvačnosti tělesa, $I_{T}$ je moment setrvačnosti tělese osou, která prochází těžištěm, $d$ je vzdálenost od těžiště
## STR
### Uveďte vztahy Lorentzovy transformace.
$$
x' = \gamma(x - Vt)
$$
$$
t' = \gamma\left( t - \frac{Vx}{c^2} \right)
$$
$$
y = y'
$$
$$
\gamma = \sqrt{ \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} }
$$

Kde S je klidová inerciální soustava. A S' je pohybující se inerciální soustava.
### Napište vztah pro Lorentzův faktor a nakreslete graf jeho vývoje jako funkci vzájemné rychlosti dvou inerciálních soustav.
$$
\gamma = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} }}
$$
Pro v = 0 graf začíná na hodnotě 1. V hodnotě v = c se jmenovatel rovná nule a graf se blíží zleva k nekonečnu.
### Slovně popište jevy kontrakce délek a dilatace času. Doplňte příslušnými matematickými vztahy.

Pro pozorovatele se zdá, že pohybující se objekt má menší rozměry ve směru osy pohybu. Tomu se říká kontrakce délek.
$$
L = \frac{L_{0}}{\gamma}
$$

Pozorovateli se zdá, že pohybující se události utíkají pomaleji. Tedy na zemi uběhne víc času, než v pozorované pohybující se soustavě.

$$
t = \gamma t_{0}
$$


## Mechanika tekutin
### Napište Gaussův-Ostrogradského teorém a vztah pro výpočet divergence v kartézských souřadnicích.
**Gauss-Ostrgradsky:**
$$
\iiint_{V} (\nabla \cdot \vec{F})\space dV = \iint_{\partial V} \vec{F}\cdot d\vec{S}
$$
**Divergence**:
$$
div(\vec{F}) = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial\vec{F_{x}}}{\partial x} + \frac{\partial\vec{F_{y}}}{\partial y} + \frac{\partial\vec{F_{z}}}{\partial z}
$$
### Uveďte tvar Bernoulliho rovnice pro (kvazi)-jednodimenzionální stacionární proudění nestlačitelné tekutiny
$$
\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh + p = konst.
$$
kde $\rho$ je hustota kapaliny (nestlačitelná - nemění se), $v$ je rychlost prouděnií, $g$ je tíhové zrychlení, $h$ je výška, $p$ je tlak

## Elekto peklo
 