# Přímočarý pohyb
$v(t) = \frac{dx}{dt}$
$a(t) = \frac{dv}{dt}$

pokud $a = 0$, pak $v = konst.$ -> $x(t) = x_{0} + vt$. Pak je to středoškolský rovnoměrný pohyb.

Jinak pro nějakou funkci $a(t)$ je rychlosti integrál $\int a(t)dt =\int x''(t)dt =  a(t)t + C$
Pro polohu:
$$
\int''a(t)dt = \int a(t)t + v_{0} = \frac{1}{2}a(t)t^2 +v_{0}t + x_{0}
$$

# Pohyb po kružnici
- zde se pohybuje v úhlech. Místo vzdálenosti máme úhel $\varphi$.
- Máme **úhlovou rychlost**, což je $\frac{\varphi}{t}$

Platí: $$\omega(t) = \frac{\delta \varphi}{\delta t}$$
- Máme **úhlové zrychlení** epsilon
$$
\epsilon (t)= \frac{\delta \omega}{\delta t}
$$

Z druhé strany pro integrály platí:
$$
\int \epsilon (t) dt= \epsilon(t)t + \omega_{0}
$$

$$
\int'' \epsilon (t) dt=\frac{1}{2}\epsilon(t)t^2 + \omega_{0}t + \varphi_{0}
$$

Speciální případ kdy $\epsilon = 0$, $\omega = konst.$ -> $\varphi(t) = \omega t + \varphi_{0}$.

**Rychlost v bodě je** $v = \omega*R$, obecně je to ale vektorový součin:
$$
v = \omega \times r 
$$, kde v je vektor rychlosti, omega je vektor úhlové rychlosti a r je polohový vektor (ukazuje od středu na kružnici)
Dostředivé zrychlené -> to, co udržuje těleso v pohybu po kružnici
$$
a_{d} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R
$$

## Parametrická verze pohybu po kružnici
Lze říct, že úhel, je úhlová rychlost krát čas
$$
\varphi(t) = \omega t
$$ Pak lze rozdělit každou složku pohybu pomocí parametru úhlu na:
$$
x(t) = R\cos(\omega t)
$$
$$
y(t) = R \sin(\omega t)
$$

Když zderivujeme, dostaneme **rychlost**:
$$
v_{x}(t) = \frac{\delta x}{\delta t} = -R\sin(\omega t)\omega

$$
$$
v_{y}(t) = \frac{\delta y}{\delta t} = R\cos(\omega t)\omega
$$
Takto vlastně můžeme spočítat vektor rychlosti...
Samozřejmě můžeme pokračovat na zrychlení:
$$
a_{x}(t) = \frac{\delta v_{x}(t)}{\delta t} = -R\cos(\omega t)\omega^2

$$
$$
a_{y}(t) = \frac{\delta v_{y}(t)}{\delta t} = -R\sin(\omega t)\omega^2
$$
Velikost rychlosti můžu spočítat skalaráním součinem nebo pomocí pythagorovy věty:
$|v| = \sqrt{[R\omega]^2\sin^2(\omega t) + [R\omega]^2\cos^2(\omega t) } = \sqrt{R^2\omega^2} = R\omega$, protože $\sin^2 + \cos^2 = 1$. Z toho vychází vzorec $v = R\omega$.

Podobně se zrychlením:
$|a| = \sqrt{ [-R\omega^2]^2\cos^2(\omega t) + [-R\omega^2]^2\sin^(\omega t) } = \sqrt{ R^2\omega^4 }=R\omega^2 = \frac{v^2}{R}$
Zároveň platí, že $a = -R\omega^2$.
**To znamená, že zrychlení je záporný násobek polohového vektoru!**

Pokud se mění i velikost rychlosti, rozkládáme zrychlení na 2 složky:
- tečné (mění velikost rychlosti)
- normálové (mění směr)
# Pohyb po křivce

Rozdělíme si pohyb v 3D prostoru do vektoru:
$$r(t) = (x(t),y(t),z(z))$$
$$v(t) = \frac{\delta r}{\delta t} =(\frac{\delta x}{\delta t}, \frac{\delta y}{\delta t}, \frac{\delta z}{\delta t})$$
$$
a(t) = \frac{\delta v}{\delta t}
$$

**[Frenetův rámec](https://cs.frwiki.wiki/wiki/Rep%C3%A8re_de_Frenet)**: rozdělení složek na:
- tečnou složku: $a_{t} = \frac{\delta v}{\delta t}$, která mění pouze rychlost
- normálovou složku $a_{n} = v^2\rho$, která mění pouze směr

- $\rho$ je poloměr křivosti $k$, trajektorie : poloměr kruhu, který nejlépe odpovídá kružnici v bodě (hádám jejímu zrychlení v bodě). 

